Calcule
onde a curva
é a fronteira da região do primeiro quadrante entre a parábola
e a reta
. Repita o cálculo da integral acima utilizando o Teorema de Green e compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante entre a parábola
e a reta
. Em seguida, repetir o cálculo usando o Teorema de Green e comparar os resultados.
Informações dadas e observações iniciais:
- A curva
é a fronteira da região limitada por (abaixo) e (acima), no primeiro quadrante. - Os pontos de interseção das curvas são dados por
, ou seja e . Portanto os pontos relevantes são e . - Assumiremos a orientação positiva (contrária ao ponteiro do relógio, isto é, orientação anti-horária) para
, que é a escolha padrão ao aplicar o Teorema de Green. - Para a integral de linha escrita na forma
temos
Passo 2
Resolvendo diretamente: descrevemos
como a união de duas curvas orientadas para fechar o contorno com orientação positiva:
- Arco 1 (parábola, parte inferior): parametrize por
com de a . Esse trecho vai de até . - Arco 2 (reta, parte superior): parametrize por
com de até . Esse trecho vai de de volta para , completando a orientação positiva.
Vamos calcular a contribuição de cada arco separadamente.
Passo 3
Integral ao longo da parábola
,
.
Calculemos as diferenciais:
Substituindo em
:
- Em termos de
: , . - Então
. - E
.
Logo o integrando em
é
Integrando de
a
:
Passo 4
Integral ao longo da reta
, com
indo de
até
.
Calculemos as diferenciais:
Substituindo:
-
, . -
. -
.
O integrando fica
Integrando de
até
:
Passo 5
Somando as duas contribuições obtidas diretamente:
Para somar, coloque no mesmo denominador
:
logo
Até aqui, cálculo direto dá
.
Passo 6
Agora usando o Teorema de Green. Enunciado (em palavras): para uma região
simples e fechada com fronteira
orientada positivamente,
Aqui
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais:
Portanto o integrando do duplo é
Passo 7
Montando a integral dupla sobre a região
. Como
é a região entre
e
para
, podemos integrar em ordem
:
Calcule a integral interna em
:
Assim
Expandindo o integrando:
Multiplicando por
dá
Integramos termo a termo de
a
:
Avaliando em
:
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Passo 8
Comparação: o resultado obtido diretamente e o resultado obtido via Teorema de Green coincidem, ambos valendo
Isto confirma a consistência: o Teorema de Green transforma a integral de linha sobre a fronteira numa integral dupla sobre a região, muitas vezes simplificando o cálculo.