Calcule I=\oint_{C} x y^{2} d x-y x d y onde a curva C é a fronteira da região do primeiro quadrante entre a parábola y=x^{2} e a reta y=x. Repita o cálculo da integral acima utilizando o Teorema de Green e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} x y^{2}\,dx - y x\,dy
onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante entre a parábola y=x^{2} e a reta y=x. Em seguida, repetir o cálculo usando o Teorema de Green e comparar os resultados.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A curva C é a fronteira da região R limitada por y=x^{2} (abaixo) e y=x (acima), no primeiro quadrante.
  • Os pontos de interseção das curvas são dados por x^{2}=x, ou seja x=0 e x=1. Portanto os pontos relevantes são (0,0) e (1,1).
  • Assumiremos a orientação positiva (contrária ao ponteiro do relógio, isto é, orientação anti-horária) para C, que é a escolha padrão ao aplicar o Teorema de Green.
  • Para a integral de linha escrita na forma P\,dx + Q\,dy temos P(x,y)=x y^{2},\qquad Q(x,y)=-x y.

Passo 2

Resolvendo diretamente: descrevemos C como a união de duas curvas orientadas para fechar o contorno com orientação positiva:
  • Arco 1 (parábola, parte inferior): parametrize por \mathbf{r}_{1}(t)=(t,t^{2}) com t de 0 a 1. Esse trecho vai de (0,0) até (1,1).
  • Arco 2 (reta, parte superior): parametrize por \mathbf{r}_{2}(t)=(t,t) com t de 1 até 0. Esse trecho vai de (1,1) de volta para (0,0), completando a orientação positiva.
Vamos calcular a contribuição de cada arco separadamente.

Passo 3

Integral ao longo da parábola \mathbf{r}_{1}(t)=(t,t^{2}), 0\le t\le1.
Calculemos as diferenciais:
dx = dt,\qquad dy = 2t\,dt.
Substituindo em P\,dx + Q\,dy = x y^{2}\,dx - y x\,dy:
  • Em termos de t: x=t, y=t^{2}.
  • Então x y^{2} = t\cdot (t^{2})^{2} = t^{5}.
  • E y x\,dy = (t^{2})\cdot t\cdot (2t\,dt) = 2t^{4}\,dt.
Logo o integrando em t é
t^{5}\,dt - 2t^{4}\,dt = (t^{5}-2t^{4})\,dt.
Integrando de 0 a 1:
I_{1}=\int_{0}^{1} (t^{5}-2t^{4})\,dt = \left[\frac{t^{6}}{6}-\frac{2t^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}-\frac{2}{5} = \frac{5-12}{30} = -\frac{7}{30}.

Passo 4

Integral ao longo da reta \mathbf{r}_{2}(t)=(t,t), com t indo de 1 até 0.
Calculemos as diferenciais:
dx = dt,\qquad dy = dt.
Substituindo:
  • x=t, y=t.
  • x y^{2} = t\cdot t^{2} = t^{3}.
  • y x\,dy = t\cdot t\cdot dt = t^{2}\,dt.
O integrando fica
t^{3}\,dt - t^{2}\,dt = (t^{3}-t^{2})\,dt.
Integrando de t=1 até t=0:
I_{2}=\int_{1}^{0} (t^{3}-t^{2})\,dt = -\int_{0}^{1} (t^{3}-t^{2})\,dt = -\left[\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = -\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right) = -\left(-\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{12}.

Passo 5

Somando as duas contribuições obtidas diretamente:
I = I_{1}+I_{2} = -\frac{7}{30} + \frac{1}{12}.
Para somar, coloque no mesmo denominador 60:
-\frac{7}{30} = -\frac{14}{60},\qquad \frac{1}{12}=\frac{5}{60},
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I = -\frac{14}{60}+\frac{5}{60} = -\frac{9}{60} = -\frac{3}{20}.
Até aqui, cálculo direto dá I=-\dfrac{3}{20}.

Passo 6

Agora usando o Teorema de Green. Enunciado (em palavras): para uma região R simples e fechada com fronteira C orientada positivamente,
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y)=x y^{2} e Q(x,y)=-x y. Precisamos calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x y) = -y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x y^{2}) = 2 x y.
Portanto o integrando do duplo é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -y - 2 x y = -y(1+2x).

Passo 7

Montando a integral dupla sobre a região R. Como R é a região entre y=x^{2} e y=x para 0\le x\le1, podemos integrar em ordem dy\,dx:
I = \iint_{R} -y(1+2x)\,dA = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{y=x} -y(1+2x)\,dy\,dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{x} -y(1+2x)\,dy = -(1+2x)\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=x} = -\frac{1+2x}{2}\left(x^{2}-x^{4}\right).
Assim
I = -\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1+2x)(x^{2}-x^{4})\,dx.
Expandindo o integrando:
(1+2x)(x^{2}-x^{4}) = x^{2}+2x^{3}-x^{4}-2x^{5}.
Multiplicando por -\frac{1}{2}
-\frac{1}{2}x^{2} - x^{3} + \frac{1}{2}x^{4} + x^{5}.
Integramos termo a termo de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \left(-\frac{1}{2}x^{2} - x^{3} + \frac{1}{2}x^{4} + x^{5}\right)\,dx = \left[-\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1}.
Avaliando em 1:
I = -\frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{6}.
Os termos -\dfrac{1}{6} e +\dfrac{1}{6} se cancelam, sobrando
I = -\frac{1}{4} + \frac{1}{10} = -\frac{5}{20} + \frac{2}{20} = -\frac{3}{20}.

Passo 8

Comparação: o resultado obtido diretamente e o resultado obtido via Teorema de Green coincidem, ambos valendo
I = -\frac{3}{20}.
Isto confirma a consistência: o Teorema de Green transforma a integral de linha sobre a fronteira numa integral dupla sobre a região, muitas vezes simplificando o cálculo.

Resposta

-\dfrac{3}{20}

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