- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integração é sobre toda a reta real, de
a . - A função integranda é
. - O objetivo é obter um valor numérico (uma constante) para essa integral.
Passo 2
Observação sobre paridade (simetria) da integranda — isso vai simplificar a integral. Vou checar
:
Portanto
é uma função par. Para integrais sobre
de funções pares vale a simplificação padrão:
Aplicando aqui:
Iremos então calcular a integral no intervalo
e multiplicar por
.
Passo 3
Introduzo uma dependência em parâmetro para facilitar: defino, para
,
A integral que nos interessa é
. Agora uso uma relação com a integral
Derivando
em relação a
e trocando derivação e integração (justificável aqui por convergência uniforme do integrando em conjuntos compactos de
), obtenho:
Assim
Então, se eu conseguir uma expressão explícita para
, posso obter
derivando.
Passo 4
Agora calculo
. Uma técnica padrão é usar a transformada de Fourier/integração no plano complexo. Considere a integral sobre a reta real da função complexa
. Para
(caso do nosso interesse, pois depois colocaremos
) vale a famosa identidade
Rascunho do argumento (essencial, mas direto): fechar o contorno no semiplano superior e aplicar o teorema dos resíduos. O integrando tem pólos simples em
e
; ao fechar no semiplano superior só o pólo
fica dentro. O resíduo em
é
Pelo teorema dos resíduos, a integral sobre a reta real mais a contribuição do arco superior (que tende a zero por lemas de Jordan quando
) vale
vezes esse resíduo. Assim a integral sobre a reta real é
Tomando a parte real dessa igualdade (pois
) obtemos
Como o integrando é par, isto dá
Passo 5
Voltando à relação entre
e
:
Com
temos
portanto
Passo 6
Agora colocamos
(que é o caso da integral original) e lembramos que a integral total é
. Então
e