Calcule \iiint_{S} \cos \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}} d V, S=\left\{(x, y, z), 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 36\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S} \cos \sqrt{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3}}\,dV
no domínio
S=\bigl\{(x,y,z)\mid 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le36\bigr\}.
Este é um problema de mudança para coordenadas esféricas, onde usamos
\displaystyle x=r\sin\theta\cos\varphi,
\displaystyle y=r\sin\theta\sin\varphi,
\displaystyle z=r\cos\theta,
\displaystyle dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 2

Na expressão \sqrt{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3}}=\sqrt{r^{6}}=r^{3} e o domínio 1\le r^{2}\le36 vira
1\le r\le6,\quad 0\le\theta\le\pi,\quad 0\le\varphi\le2\pi.
Então a integral fica
\int_{r=1}^{6}\!\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{\varphi=0}^{2\pi} \cos\bigl(r^{3}\bigr)\,r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.

Passo 3

Fazemos primeiro as integrais angulares:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2.
Multiplicando dá 4\pi. Logo a integral reduz para
4\pi \int_{1}^{6}r^{2}\cos\bigl(r^{3}\bigr)\,dr.

Passo 4

No integral em r usamos a substituição
u=r^{3},\quad du=3r^{2}dr \quad\Longrightarrow\quad r^{2}dr=\frac{du}{3},
com u(1)=1 e u(6)=216. Assim
\int_{1}^{6}r^{2}\cos\bigl(r^{3}\bigr)\,dr =\frac{1}{3}\int_{1}^{216}\cos(u)\,du =\frac{1}{3}\bigl[\sin(u)\bigr]_{1}^{216} =\frac{1}{3}\bigl(\sin(216)-\sin(1)\bigr).

Resposta

\iiint_{S}\cos\sqrt{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3}}\,dV =\frac{4\pi}{3}\bigl(\sin(216)-\sin(1)\bigr).

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