Nos exercícios 2. e 3. cada integral iterada representa uma integral tripla numa região R. Descreva R e calcule as integrais.
\int_{1}^{2} \int_{y}^{y^{2}} \int_{0}^{\ln x} y e^{z} d z d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla
\int_{y=1}^{2}\int_{x=y}^{y^{2}}\int_{z=0}^{\ln x}y\,e^{z}\,dz\,dx\,dy
e pede para descrever a região R em (x,y,z) e calcular o valor dessa integral. O conteúdo é aplicação de integrais iteradas em regiões do espaço, usando Fubini e integração em cada variável na ordem z\to x\to y.

Passo 2

Para descrever R, basta traduzir os limites das integrais em desigualdades:
1 \le y \le 2, \quad y \le x \le y^{2}, \quad 0 \le z \le \ln x.
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R = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 1 \le y \le 2,\;y \le x \le y^{2},\;0 \le z \le \ln x\bigr\}.

Passo 3

Começamos integrando em z:
\int_{0}^{\ln x}y\,e^{z}\,dz = y\bigl[e^{z}\bigr]_{0}^{\ln x} = y\bigl(e^{\ln x}-1\bigr) = y(x-1).
Assim a integral reduz-se a
\int_{1}^{2}\int_{y}^{y^{2}}y(x-1)\,dx\,dy.

Passo 4

Calculamos primeiro em x:
\int_{x=y}^{y^{2}}y(x-1)\,dx = y\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-x\Bigr]_{y}^{y^{2}} = y\Bigl(\tfrac{y^{4}}{2}-y^{2}-\tfrac{y^{2}}{2}+y\Bigr) = \tfrac{y^{5}}{2}-\tfrac{3y^{3}}{2}+y^{2}.
Agora em y:
\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac{y^{5}}{2}-\tfrac{3y^{3}}{2}+y^{2}\Bigr)dy = \Bigl[\tfrac{y^{6}}{12}-\tfrac{3y^{4}}{8}+\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2} =2-\tfrac{1}{24} =\tfrac{47}{24}.

Resposta

A região é
R=\{(x,y,z)\mid 1 \le y \le 2,\;y \le x \le y^{2},\;0 \le z \le \ln x\},
e o valor da integral tripla é \tfrac{47}{24}.

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