Calcule \iiint_{S} \operatorname{sen} z d V, S=\left\{(x, y, z) ; 0 \leq z \leq 4 x^{2}+4 y^{2}, 0 \leq x \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}}, x \leq \sqrt{2} / 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da tríplice integral
\iiint_{S}\sin z\,dV
no sólido
S=\bigl\{(x,y,z)\mid 0\le z\le 4x^2+4y^2,\;0\le x\le y\le\sqrt{1-x^2},\;x\le \tfrac{\sqrt2}2\bigr\}.
O conteúdo aqui é usar integração iterada: primeiro em z, depois sobre a projeção D no plano xy, e em seguida coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Integramos em z de 0 até 4(x^2+y^2):
\int_{0}^{4(x^2+y^2)}\sin z\,dz =\bigl[-\cos z\bigr]_{0}^{4(x^2+y^2)} =1-\cos\bigl(4(x^2+y^2)\bigr).
Assim
\iiint_{S}\sin z\,dV =\iint_{D}\bigl[1-\cos\bigl(4(x^2+y^2)\bigr)\bigr]\,dx\,dy.

Passo 3

A projeção D no plano xy é
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\sqrt2}2,\;x\le y\le\sqrt{1-x^2}\bigr\}.
Isso equivale ao setor do círculo de raio 1 no primeiro quadrante entre a reta y=x e o eixo y.

Passo 4

Em coordenadas polares (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta), o domínio fica
0\le r\le1,\quad \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2},
e x^2+y^2=r^2, Jacobeano r. Logo
\iint_{D}\bigl[1-\cos(4r^2)\bigr]\,dx\,dy =\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\bigl[1-\cos(4r^2)\bigr]\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculemos a integral interna em r:
\int_{0}^{1}\bigl[1-\cos(4r^2)\bigr]\,r\,dr =\int_{0}^{1}r\,dr\;-\;\int_{0}^{1}r\cos(4r^2)\,dr.
Para o primeiro termo
\int_{0}^{1}r\,dr=\tfrac12.
Para o segundo, faça u=r^2, du=2r\,dr:
\int_{0}^{1}r\cos(4r^2)\,dr =\tfrac12\int_{0}^{1}\cos(4u)\,du =\tfrac12\cdot\frac{\sin(4u)}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{\sin4}{8}.
Logo
\int_{0}^{1}\bigl[1-\cos(4r^2)\bigr]\,r\,dr =\frac12-\frac{\sin4}{8} =\frac{4-\sin4}{8}.

Passo 6

Agora integramos em \theta de \pi/4 a \pi/2, comprimento \pi/2-\pi/4=\pi/4:
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{4-\sin4}{8}\,d\theta =\frac{4-\sin4}{8}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi\,(4-\sin4)}{32}.

Resposta

\iiint_{S}\sin z\,dV =\frac{\pi\,(4-\sin4)}{32}.

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