Dada a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=3-t \\\ z=-4+2 t \end{array}, \text { determinar o ponto de } r\right. \text { tal que }
a) a ordenada seja 6 ;
b) a abscissa seja igual à ordenada;

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma paramétrica:
x = 2 + t,\quad y = 3 - t,\quad z = -4 + 2t,
e pede dois pontos de r que satisfazem condições em x e y. Para resolver, vamos usar a representação paramétrica: qualquer ponto de r tem coordenadas (2+t,\;3-t,\;-4+2t). Basta impor a condição desejada para encontrar o valor de t e depois calcular as três coordenadas.

Passo 2

Para o item (a), a condição é que a ordenada seja 6, ou seja, y = 6. Como y = 3 - t, temos
3 - t = 6.
Resolvendo para t,
-t = 6 - 3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad t = -3.

Passo 3

Com t = -3, calculamos as outras coordenadas:
x = 2 + t = 2 + (-3) = -1,
z = -4 + 2t = -4 + 2(-3) = -4 - 6 = -10.
Logo, o ponto de r com ordenada 6 é (-1,6,-10).

Passo 4

Para o item (b), a condição é que a abscissa seja igual à ordenada, ou seja, x = y. Como x = 2 + t e y = 3 - t, impomos
2 + t = 3 - t.
Resolvendo para t,
2t = 3 - 2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad t = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Com t = \tfrac{1}{2}, obtemos
x = 2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}, \quad y = 3 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}, \quad z = -4 + 2\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = -4 + 1 = -3.
Portanto, o ponto de r em que x=y é \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2},-3\bigr).

Resposta

(a) (-1,6,-10)
(b) \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2},-3\bigr)

Exercícios relacionados