Calcule \int_{1}^{2} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x^{2}+y^{2}} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d z d y d x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral tripla
\int_{x=1}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{x^{2}+y^{2}}\frac{z}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é integração iterada em ordem dz\,dy\,dx. Vamos primeiro integrar em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z, tratando \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) como constante:
\int_{0}^{x^{2}+y^{2}}\frac{z}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\,dz =\frac{1}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}} \int_{0}^{x^{2}+y^{2}}z\,dz =\frac{1}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}} \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{x^{2}+y^{2}} =\frac{1}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}\cdot\frac{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}}{2} =\frac{1}{2}.

Passo 3

Substituindo esse resultado, a integral vira
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x}\frac{1}{2}\,dy\,dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\Bigl[\int_{0}^{x}dy\Bigr]dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{2}x\,dx.

Passo 4

Agora só falta integrar em x:
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}x\,dx =\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{4-1}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} =\frac{3}{4}.

Resposta

\tfrac{3}{4}

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