Calcule \iiint_{D} \frac{d x d y d z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}}}, em que D é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{D}\frac{dx\,dy\,dz}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}}},
onde D é a esfera de raio 1 centrada na origem, ou seja \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1\}.
O que vamos usar é o resultado clássico da física/matemática (Teorema de Newton): para um ponto \mathbf r_{0} externo a uma distribuição esférica uniforme de densidade unitária, a integral \displaystyle \int_{D}\frac{dV}{\lvert \mathbf r-\mathbf r_{0}\rvert}
é igual ao volume de D dividido pela distância do centro de D até \mathbf r_{0}.

Passo 2

O Teorema de Newton para potencial gravitacional diz que, se \rho=1 é a densidade constante na esfera de raio R, para um ponto externo a ela (distância a>R do centro) vale
\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}}\frac{dV}{\lvert \mathbf r-\mathbf r_{0}\rvert} =\frac{1}{a}\,\iiint_{D}dV.

Passo 3

No nosso caso R=1. A massa (ou volume, pois \rho=1) da esfera é
M=\iiint_{D}dV =\frac{4\pi R^{3}}{3} =\frac{4\pi}{3}.

Passo 4

O ponto onde avaliamos o potencial é \mathbf r_{0}=(0,0,2), cuja distância ao centro da esfera é
a=\sqrt{0^{2}+0^{2}+2^{2}}=2.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Newton, a integral valeria
\frac{M}{a} =\frac{\tfrac{4\pi}{3}}{2} =\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{1}{2} =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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