DETERMINE CADA PRIMITIVA
x^{2} \sqrt{x+2} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar uma primitiva (indefinite integral) de
\int x^{2} \sqrt{x+2}\,dx.
O conteúdo é integração de uma função polinomial multiplicada por uma raiz de binômio. Vamos usar a substituição
t = x + 2,
para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazendo t = x+2, temos
x = t - 2, \qquad dx = dt.
Então
x^{2} = (t - 2)^{2} = t^{2} - 4t + 4
e
\sqrt{x+2} = \sqrt{t} = t^{1/2}.
Substituindo na integral,

Passo 3

\int x^{2}\sqrt{x+2}\,dx = \int (t^{2} - 4t + 4)\,t^{1/2}\,dt = \int \bigl(t^{5/2} - 4t^{3/2} + 4t^{1/2}\bigr)\,dt.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra \int t^{k}\,dt = \tfrac{t^{k+1}}{k+1}:
\int t^{5/2}\,dt = \frac{t^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}\,t^{7/2},
\int (-4t^{3/2})\,dt = -4\;\frac{t^{5/2}}{5/2} = -\frac{8}{5}\,t^{5/2},
\int 4t^{1/2}\,dt = 4\;\frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{8}{3}\,t^{3/2}.
Somando,
\int \bigl(t^{5/2} - 4t^{3/2} + 4t^{1/2}\bigr)\,dt = \frac{2}{7}\,t^{7/2} - \frac{8}{5}\,t^{5/2} + \frac{8}{3}\,t^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com t = x+2, obtemos a primitiva desejada:

Resposta

\int x^{2}\sqrt{x+2}\,dx = \frac{2}{7}\,(x+2)^{7/2} - \frac{8}{5}\,(x+2)^{5/2} + \frac{8}{3}\,(x+2)^{3/2} + C.

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