DETERMINE CADA PRIMITIVA
\int e^{3 x} \cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função \,e^{3x}\cos(3x).
Este é um caso de produto entre exponencial e função trigonométrica, então vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Denotemos
I = \int e^{3x}\cos(3x)\,dx.
Aplicando integração por partes com
u = e^{3x},\quad dv = \cos(3x)\,dx,
temos
du = 3e^{3x}\,dx, \quad v = \int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x).
Logo,
I = e^{3x}\,\frac{1}{3}\sin(3x) - \int \frac{1}{3}\sin(3x)\cdot 3e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}\sin(3x) - \int e^{3x}\sin(3x)\,dx.
Chamemos
J = \int e^{3x}\sin(3x)\,dx,
então
I = \frac{1}{3}e^{3x}\sin(3x) - J.

Passo 3

Agora calculamos J por partes, escolhendo
u = e^{3x},\quad dv = \sin(3x)\,dx
para obter
du = 3e^{3x}\,dx, \quad v = \int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x).
Assim,
J = e^{3x}\Bigl(-\frac{1}{3}\cos(3x)\Bigr) - \int \Bigl(-\frac{1}{3}\cos(3x)\Bigr)\cdot 3e^{3x}\,dx = -\frac{1}{3}e^{3x}\cos(3x) + \int e^{3x}\cos(3x)\,dx.
Mas \int e^{3x}\cos(3x)\,dx = I, portanto
J = -\frac{1}{3}e^{3x}\cos(3x) + I.

Passo 4

Substituindo J em I = \tfrac{1}{3}e^{3x}\sin(3x) - J, vem
I = \frac{1}{3}e^{3x}\sin(3x) -\Bigl(-\tfrac{1}{3}e^{3x}\cos(3x) + I\Bigr) = \frac{1}{3}e^{3x}\sin(3x) + \frac{1}{3}e^{3x}\cos(3x) - I.
Reagrupando,
2I = \frac{1}{3}e^{3x}\bigl(\sin(3x)+\cos(3x)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{1}{6}e^{3x}\bigl(\sin(3x)+\cos(3x)\bigr) + C.

Resposta

\int e^{3x}\cos(3x)\,dx = \frac{1}{6}e^{3x}\bigl(\sin(3x)+\cos(3x)\bigr) + C.

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