Questão 2. Calcule. (PROPRIEDADES)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{5^{n+1}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n}}{5^{n+1}}.
Isto é uma série geométrica, pois cada termo pode ser escrito como uma potência de uma razão comum. Para resolver, vamos usar a propriedade da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Observe que
\frac{3^{n}}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}\;\frac{3^{n}}{5^{n}} = \frac{1}{5}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.
Logo a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{5}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Lembrando que, para \lvert r\rvert<1,
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r},
aqui temos r=\tfrac{3}{5} e de fato \lvert\tfrac{3}{5}\rvert<1.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}} =\frac{\tfrac{3}{5}}{\tfrac{2}{5}} =\frac{3}{2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{5}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{5^{n+1}} =\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{2} =\frac{3}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{10}

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