Calcule
, em que
é o elipsoide
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral
onde
é o interior do elipsoide
O conteúdo envolve mudança de variáveis que transforma o elipsoide em bola unitária e depois uso de coordenadas esféricas, culminando numa integral tipo Beta.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis para “esfero-elipsoidal”:
Então
vira a bola
e o Jacobiano é
A integranda fica
Logo o integral passa a ser
Passo 3
Em coordenadas esféricas
com
, a região é
e
Assim
A integração angular dá um fator
, restando
Passo 4
Para calcular
usamos a substituição , que leva a
usamos a substituição
E sabemos que
Logo
Multiplicando o fator
dá