Calcule \iiint_{D} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}} d x d y d z, em que D é o elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral
\iiint_{D} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}}\,dx\,dy\,dz
onde D é o interior do elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\le1.
O conteúdo envolve mudança de variáveis que transforma o elipsoide em bola unitária e depois uso de coordenadas esféricas, culminando numa integral tipo Beta.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis para “esfero-elipsoidal”:
x = a\,u,\quad y=b\,v,\quad z=c\,w.
Então D vira a bola \{u^2+v^2+w^2\le1\} e o Jacobiano é
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc.
A integranda fica
\sqrt{1-\frac{a^2u^2}{a^2}-\frac{b^2v^2}{b^2}-\frac{c^2w^2}{c^2}} =\sqrt{1-(u^2+v^2+w^2)}.
Logo o integral passa a ser
abc\int_{u^2+v^2+w^2\le1}\sqrt{1-(u^2+v^2+w^2)}\,du\,dv\,dw.

Passo 3

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com 0\le r\le1, a região é r\le1 e
du\,dv\,dw = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Assim
\int_{u^2+v^2+w^2\le1}\sqrt{1-r^2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{1} \sqrt{1-r^2}\,r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
A integração angular dá um fator 4\pi, restando
4\pi\int_{0}^{1}r^2\sqrt{1-r^2}\,dr.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{1}r^2\sqrt{1-r^2}\,dr
usamos a substituição u=1-r^2, que leva a
\int_{0}^{1}r^2\sqrt{1-r^2}\,dr =\tfrac12\int_{0}^{1}u^{\tfrac12}(1-u)^{\tfrac12}du =\tfrac12\,B\bigl(\tfrac32,\tfrac32\bigr).
E sabemos que
B\bigl(\tfrac32,\tfrac32\bigr) =\frac{\Gamma(\tfrac32)\,\Gamma(\tfrac32)}{\Gamma(3)} =\frac{\bigl(\tfrac12\sqrt\pi\bigr)^2}{2} =\frac{\pi}{8}.
Logo
\int_{0}^{1}r^2\sqrt{1-r^2}\,dr =\frac12\cdot\frac{\pi}{8} =\frac{\pi}{16}.
Multiplicando o fator 4\pi
4\pi\cdot\frac{\pi}{16} =\frac{\pi^2}{4}.

Resposta

\iiint_{D}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}}\,dx\,dy\,dz =\frac{\pi^2\,a\,b\,c}{4}.

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