Questão 3. Escreva os números abaixo como uma série infinita e como um número racional.(PROPRIEDADES)
0,32151515 \ldots;

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos escrever o número periódico
0,32151515\ldots
como (a) uma série infinita e (b) um número racional. O conteúdo-chave aqui é identificar a parte não periódica e a parte periódica do decimal e usar soma de série geométrica para converter em fração.

Passo 2

Separamos o número em uma parte finita e uma parte periódica. Note que
0,32151515\ldots = 0,32 + 0,00151515\ldots
A parte não periódica é 0,32 e a parte periódica começa na terceira casa decimal, com bloco “15” se repetindo.

Passo 3

A parte periódica 0,00151515\ldots pode ser escrita como soma infinita de termos do tipo
15\times 10^{-(2k+3)},
com k=0,1,2,\dots. Portanto a série infinita é
0,32151515\ldots =0,32+\sum_{k=0}^{\infty}15\cdot 10^{-(2k+3)}.

Passo 4

Calculamos a soma da série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty}15\cdot 10^{-(2k+3)} =15\cdot 10^{-3}\sum_{k=0}^{\infty}(10^{-2})^k =\frac{15/1000}{1-1/100} =\frac{15}{1000}\cdot\frac{100}{99} =\frac{15}{10}\cdot\frac{1}{99} =\frac{1}{66}.

Passo 5

Somando com a parte não periódica:
0,32 + \frac{1}{66} =\frac{32}{100}+\frac{1}{66}.
Colocando num único denominador:
\frac{32}{100}=\frac{1056}{3300},\quad \frac{1}{66}=\frac{50}{3300},
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0,32151515\ldots =\frac{1056+50}{3300} =\frac{1106}{3300} =\frac{553}{1650}.

Resposta

Série infinita:
0,32151515\ldots =0,32+\sum_{k=0}^{\infty}15\cdot 10^{-(2k+3)}.
Forma racional:
\frac{553}{1650}.

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