Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x^{3} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{3}\ln(x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Como \ln(x) só está definido em x>0, nosso domínio máximo real é (0,\infty). Vamos aplicar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x)\quad\text{e}\quad dv = x^{3}\,dx.
Então, derivando e integrando respectivamente, obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes:
\int x^{3}\ln(x)\,dx = \ln(x)\;\frac{x^{4}}{4} - \int \frac{x^{4}}{4}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx.

Passo 4

Calculemos \displaystyle\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}. Logo,
\int x^{3}\ln(x)\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4} + C = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{x^{4}}{16} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{\int x^{3}\ln(x)\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{x^{4}}{16} + C,\quad x>0.}

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