Exercício 5.4 Calcule as integrais abaixo, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos (2 x)\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\tfrac12 - \tfrac12\cos(2x)\Bigr)\,\mathrm{d}x
com domínio máximo. Note que \cos(2x) é definida para todo x\in\mathbb{R}, então o domínio máximo é \mathbb{R}. Vamos usar a linearidade da integral e a fórmula padrão
\int \cos(kx)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{k}\,\sin(kx) + C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int\Bigl(\tfrac12 - \tfrac12\cos(2x)\Bigr)\,\mathrm{d}x = \int \tfrac12\,\mathrm{d}x \;-\; \int \tfrac12\,\cos(2x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos a primeira parte usando
\int \tfrac12\,\mathrm{d}x = \tfrac12 \int 1\,\mathrm{d}x = \tfrac12\,x.

Passo 4

Para a segunda parte, aplicamos a fórmula de \cos(2x):
\int \tfrac12\,\cos(2x)\,\mathrm{d}x = \tfrac12\;\int \cos(2x)\,\mathrm{d}x = \tfrac12\;\bigl(\tfrac{1}{2}\sin(2x)\bigr) = \tfrac{1}{4}\sin(2x).
Como havia um sinal negativo, isso vira -\tfrac{1}{4}\sin(2x).

Passo 5

Reunindo os resultados:
\int\Bigl(\tfrac12 - \tfrac12\cos(2x)\Bigr)\,\mathrm{d}x = \tfrac12\,x \;-\; \tfrac{1}{4}\sin(2x) + C.

Resposta

\boxed{\int\Bigl(\tfrac12 - \tfrac12\cos(2x)\Bigr)\,\mathrm{d}x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C.}

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