Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
Informações dadas:
- A variável de integração externa é
com . - Para cada
fixo, varia entre e . - Para cada par
fixo, varia entre (limite inferior) e (limite superior).
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral (que representa o volume do sólido descrito pelas desigualdades dadas).
Passo 2
Primeiro faço a integração mais interna, em
. Integrar
em
entre os limites é simplesmente a diferença dos limites:
Faço a subtração e simplifico:
Portanto a integral tripla fica reduzida a uma integral dupla:
Passo 3
Agora integro em
. Para simplificar a escrita, chamo
Então a integral em
é
Explico a técnica: a função
é par em
(ou seja, simétrica), então posso usar a simetria ou integrar diretamente. Integrando:
Avalio entre
e
:
Como
e termos ímpares se somam, isso fica
Ou seja,
Voltando
, a integral reduz a uma integral em
só:
Passo 4
Simplifico a expressão dentro da raiz: faço completar quadrado
Faço a substituição
. Quando
temos
; quando
temos
. Além disso
. Assim a integral fica
A função
é par em
, então posso dobrar de
a
:
Para calcular essa integral uso a substituição trigonométrica
. Então
, e os limites:
,
. Note que
portanto
e o elemento
traz mais um
. Assim a integral transforma-se em
Passo 5
Calculo
. Uso redução de potência:
E mais uma vez
Substituindo:
Integro de
a
. Os termos com
e
têm integrais nulas no intervalo
(seno em múltiplos inteiros de
), logo
Voltando à integral total: