Calcule a integral
\int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \int_{4-2 x}^{4-x^{2}-y^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \int_{4-2 x}^{4-x^{2}-y^{2}} d z\, d y\, d x.
Informações dadas:
  • A variável de integração externa é x com 0\le x\le2.
  • Para cada x fixo, y varia entre y=-\sqrt{2x-x^{2}} e y=+\sqrt{2x-x^{2}}.
  • Para cada par (x,y) fixo, z varia entre z=4-2x (limite inferior) e z=4-x^{2}-y^{2} (limite superior).
    O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral (que representa o volume do sólido descrito pelas desigualdades dadas).

Passo 2

Primeiro faço a integração mais interna, em z. Integrar 1 em z entre os limites é simplesmente a diferença dos limites:
\int_{4-2x}^{4-x^{2}-y^{2}} d z = \bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)-\bigl(4-2x\bigr).
Faço a subtração e simplifico:
\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)-\bigl(4-2x\bigr)=2x-x^{2}-y^{2}.
Portanto a integral tripla fica reduzida a uma integral dupla:
\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{2x-x^{2}}}^{\sqrt{2x-x^{2}}}\bigl(2x-x^{2}-y^{2}\bigr)\,d y\,d x.

Passo 3

Agora integro em y. Para simplificar a escrita, chamo
A(x)=2x-x^{2}.
Então a integral em y é
\int_{-\sqrt{A(x)}}^{\sqrt{A(x)}}\bigl(A(x)-y^{2}\bigr)\,d y.
Explico a técnica: a função A(x)-y^{2} é par em y (ou seja, simétrica), então posso usar a simetria ou integrar diretamente. Integrando:
\int\bigl(A-y^{2}\bigr)\,dy = A y - \frac{y^{3}}{3}.
Avalio entre y=-\sqrt{A} e y=+\sqrt{A}:
\left[A y - \frac{y^{3}}{3}\right]_{-\sqrt{A}}^{\sqrt{A}} = A\bigl(\sqrt{A}-(-\sqrt{A})\bigr)-\frac{1}{3}\bigl(\sqrt{A}^{\,3}-(-\sqrt{A})^{3}\bigr).
Como \sqrt{A}^{\,3}=A\sqrt{A} e termos ímpares se somam, isso fica
=2A\sqrt{A}-\frac{2}{3}A\sqrt{A}=\frac{4}{3}A\sqrt{A}.
Ou seja,
\int_{-\sqrt{A}}^{\sqrt{A}}\bigl(A-y^{2}\bigr)\,d y=\frac{4}{3}A^{3/2}.
Voltando A(x)=2x-x^{2}, a integral reduz a uma integral em x só:
\int_{0}^{2}\frac{4}{3}\bigl(2x-x^{2}\bigr)^{3/2}\,d x.

Passo 4

Simplifico a expressão dentro da raiz: faço completar quadrado
2x-x^{2}=1-(x-1)^{2}.
Faço a substituição t=x-1. Quando x=0 temos t=-1; quando x=2 temos t=1. Além disso d x=d t. Assim a integral fica
\frac{4}{3}\int_{-1}^{1}\bigl(1-t^{2}\bigr)^{3/2}\,d t.
A função (1-t^{2})^{3/2} é par em t, então posso dobrar de 0 a 1:
\frac{4}{3}\cdot 2\int_{0}^{1}\bigl(1-t^{2}\bigr)^{3/2}\,d t=\frac{8}{3}\int_{0}^{1}\bigl(1-t^{2}\bigr)^{3/2}\,d t.
Para calcular essa integral uso a substituição trigonométrica t=\sin\theta. Então d t=\cos\theta\,d\theta, e os limites: t=0\Rightarrow\theta=0, t=1\Rightarrow\theta=\pi/2. Note que
1-t^{2}=1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta,
portanto
\bigl(1-t^{2}\bigr)^{3/2}=(\cos^{2}\theta)^{3/2}=\cos^{3}\theta,
e o elemento d t traz mais um \cos\theta. Assim a integral transforma-se em
\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta.

Passo 5

Calculo \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta. Uso redução de potência:
\cos^{4}\theta=\left(\cos^{2}\theta\right)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} =\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr).
E mais uma vez
\cos^{2}2\theta=\frac{1+\cos 4\theta}{2}.
Substituindo:
\cos^{4}\theta=\frac{1}{4}\left(1+2\cos 2\theta+\frac{1+\cos 4\theta}{2}\right) =\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta.
Integro de 0 a \pi/2. Os termos com \cos 2\theta e \cos 4\theta têm integrais nulas no intervalo [0,\pi/2] (seno em múltiplos inteiros de \pi), logo
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta=\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}.
Voltando à integral total:
\frac{8}{3}\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{8\pi}{16}=\frac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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