Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
y^{\prime}=e^{-y} \operatorname{com} y(0)=-2

Passo 1

O enunciado é a equação de Cauchy y' = e^{-y} com a condição inicial y(0) = -2.
Este é um EDO de primeira ordem e separável, então vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Separe as variáveis y e x movendo e^{-y} para o lado de dy:
y' = \frac{dy}{dx} = e^{-y}\quad\Longrightarrow\quad e^{y}\,dy = dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int e^{y}\,dy = \int dx
e^{y} = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Use a condição inicial y(0) = -2 para determinar C:
e^{-2} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = e^{-2}.
Logo
e^{y} = x + e^{-2}.

Passo 5

Isolando y, obtemos
y(x) = \ln\bigl(x + e^{-2}\bigr).
Para que o argumento do \ln seja positivo, precisamos de x + e^{-2}>0, ou seja x>-e^{-2}.

Resposta

y(x)=\ln\bigl(x + e^{-2}\bigr),\qquad x>-e^{-2}.

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