Calcule
onde
é parte do parabolóide
abaixo do plano
.
Passo 1
O enunciado nos pede calcular
onde
é a parte do paraboloide
abaixo do plano
.
O conteúdo aqui é integral de superfície de grafo ; vamos usar a fórmula que reduz a integral de superfície a uma integral dupla em
.
O conteúdo aqui é integral de superfície de grafo
Passo 2
Para uma superfície dada por
, o elemento de área é
No nosso caso
, logo
Portanto
Passo 3
A projeção
de
no plano
vem de
Em coordenadas polares
,
isso vira
ou seja
.
Passo 4
Em polares temos
Logo a integral se torna
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Sabemos que
Logo