Calcule \int_{\Omega} g(x, y, z) d S
\int_{\Omega} \sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+1} d S onde \Omega é parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano y=z.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
\iint_{\Omega}\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}\,dS
onde \Omega é a parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano y=z.
O conteúdo aqui é integral de superfície de grafo z=f(x,y); vamos usar a fórmula que reduz a integral de superfície a uma integral dupla em xy.

Passo 2

Para uma superfície dada por z=f(x,y), o elemento de área é
dS = \sqrt{1+\bigl(f_x\bigr)^2+\bigl(f_y\bigr)^2}\;dx\,dy.
No nosso caso f(x,y)=x^2+y^2, logo
f_x=2x,\quad f_y=2y,
dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}\;dx\,dy.
Portanto
\sqrt{4x^2+4y^2+1}\,dS =\bigl(\sqrt{4x^2+4y^2+1}\bigr)^2\,dx\,dy =(4x^2+4y^2+1)\,dx\,dy.

Passo 3

A projeção D de \Omega no plano xy vem de
x^2+y^2 \le y \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+(y-\tfrac12)^2 \le \tfrac14.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta isso vira
r^2 \le r\sin\theta \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le r\le \sin\theta,\quad \sin\theta\ge0,
ou seja 0\le\theta\le\pi.

Passo 4

Em polares temos
4x^2+4y^2+1 = 4r^2+1, \qquad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo a integral se torna
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sin\theta}(4r^2+1)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{\sin\theta}(4r^3+r)\,dr = \Bigl[r^4 + \tfrac{r^2}{2}\Bigr]_{0}^{\sin\theta} = \sin^4\theta + \tfrac{\sin^2\theta}{2}.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi}\Bigl(\sin^4\theta + \tfrac{\sin^2\theta}{2}\Bigr)\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin^4\theta\,d\theta + \tfrac12\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta.
Sabemos que
\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \tfrac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi}\sin^4\theta\,d\theta = \tfrac{3\pi}{8}.
Logo
\frac{3\pi}{8} + \frac12\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{8}.

Resposta

\frac{5\pi}{8}.

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