Calcule
e
, onde
é a superfície fronteira de
, e verifique que o Teorema de divergente é verdadeiro.
é o cubo limitado pelos planos
,
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a região é o cubo unitário
.
Pede-se (i) o integral triplo e (ii) o fluxo
onde
.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
e a região
Pede-se (i) o integral triplo
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
Passo 2
Calcular a divergência de
. Por definição,
Passo 3
Avaliar o integral triplo de
em
:
Como as integrais em
e
só dão fator
, obtemos
Passo 4
Calcular o fluxo através das faces
e
.
- Em
, e , logo o fluxo é . - Em
, e , então
Passo 5
Calcular o fluxo através das faces
e
.
- Em
, , , fluxo . - Em
, , ,
Passo 6
Calcular o fluxo através das faces
e
.
- Em
, , , fluxo . - Em
, , ,
Passo 7
Somando todos os fluxos obtidos:
Portanto
confirmando o Teorema da Divergência.