Calcule iiint_{E} \operatorname{Div}(\vec{F}) d V e \iint_{S} \vec{F} d S, onde S é a superfície fronteira de E, e verifique que o Teorema de divergente é verdadeiro.
\vec{F}(x, y, z)=(3 x, x y, 2 x z), E é o cubo limitado pelos planos x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y,z)=(3x,\;xy,\;2xz)
e a região E é o cubo unitário \{(x,y,z)\mid 0\le x,y,z\le1\}.
Pede-se (i) o integral triplo \iiint_{E}\operatorname{Div}(\vec F)\,dV e (ii) o fluxo
\iint_{S}\vec F\cdot d\mathbf S onde S=\partial E.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
\iiint_{E}\operatorname{Div}(\vec F)\,dV \;=\;\iint_{S}\vec F\cdot d\mathbf S.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec F. Por definição,
\operatorname{Div}(\vec F) =\frac{\partial}{\partial x}(3x) +\frac{\partial}{\partial y}(xy) +\frac{\partial}{\partial z}(2xz) =3 + x + 2x =3 + 3x.

Passo 3

Avaliar o integral triplo de \operatorname{Div}(\vec F) em E:
\iiint_{E}\operatorname{Div}(\vec F)\,dV =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}(3+3x)\,dz\,dy\,dx.
Como as integrais em z e y só dão fator 1, obtemos
\int_{0}^{1}(3+3x)\,dx =\bigl[3x+\tfrac{3x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} =3+\tfrac{3}{2} =\tfrac{9}{2}.

Passo 4

Calcular o fluxo através das faces x=0 e x=1.
  • Em x=0, \mathbf n=(-1,0,0) e \vec F=(0,0,0), logo o fluxo é 0.
  • Em x=1, \mathbf n=(1,0,0) e \vec F=(3,\;y,\;2z), então
\iint_{x=1}\vec F\cdot\mathbf n\,dS =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}3\,dy\,dz =3.

Passo 5

Calcular o fluxo através das faces y=0 e y=1.
  • Em y=0, \mathbf n=(0,-1,0), \vec F=(3x,0,2xz), fluxo =0.
  • Em y=1, \mathbf n=(0,1,0), \vec F=(3x,x,2xz),
\iint_{y=1}\vec F\cdot\mathbf n\,dS =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}x\,dx\,dz =\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Calcular o fluxo através das faces z=0 e z=1.
  • Em z=0, \mathbf n=(0,0,-1), \vec F=(3x,xy,0), fluxo =0.
  • Em z=1, \mathbf n=(0,0,1), \vec F=(3x,xy,2x),
\iint_{z=1}\vec F\cdot\mathbf n\,dS =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}2x\,dx\,dy =1.

Passo 7

Somando todos os fluxos obtidos:
0 + 3 + 0 + \tfrac12 + 0 + 1 = \tfrac{9}{2}.
Portanto
\iiint_{E}\operatorname{Div}(\vec F)\,dV =\iint_{S}\vec F\cdot d\mathbf S =\tfrac{9}{2},
confirmando o Teorema da Divergência.

Resposta

\displaystyle \iiint_{E}\operatorname{Div}(\vec F)\,dV = \tfrac{9}{2},
\displaystyle \iint_{S}\vec F\,dS = \tfrac{9}{2}.

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