(\mathbf{2 0}) pontos) Encontre a anti-transformada de Laplace das funções a seguir:
F(s)=\frac{s}{s^{2}+s-2}

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de
F(s)=\frac{s}{s^{2}+s-2}.
O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais e uso da tabela de transformadas inversas para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador em
s^{2}+s-2 = (s+2)(s-1),
e escrevemos a fração parcial
\frac{s}{(s+2)(s-1)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s-1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s+2)(s-1) temos
s = A(s-1) + B(s+2) = (A+B)\,s + (-A+2B).
Comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} A+B = 1,\\\\ -\,A + 2B = 0, \end{cases}
cuja solução é
A = \tfrac{2}{3}, \quad B = \tfrac{1}{3}.

Passo 4

Agora cada termo inverte pela tabela
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s+2}\bigr\}(t)=e^{-2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s-1}\bigr\}(t)=e^{t}.
Logo a anti-transformada é
f(t) = \tfrac{2}{3}e^{-2t} + \tfrac{1}{3}e^{t}.

Resposta

\displaystyle f(t) = \frac{2}{3}e^{-2t} + \frac{1}{3}e^{t}

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