Nos exercícios 2. e 3. cada integral iterada representa uma integral tripla numa região R. Descreva R e calcule as integrais.
\int_{0}^{1} \int_{2 x}^{1+x} \int_{z}^{x+z} x d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para interpretar geometricamente a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{2x}^{1+x}\int_{z}^{x+z}x\,dy\,dz\,dx
vendo-a como
\iiint_{R}x\,dV,
onde vamos descrever a região R\subset\mathbb{R}^3 e depois calcular esse valor por integração iterada.

Passo 2

A descrição direta de R vem dos limites da integral:
R = \{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;2x\le z\le1+x,\;z\le y\le x+z\}.
Isto é, primeiro x varia de 0 a 1, para cada x o z varia entre as retas z=2x e z=1+x, e para cada par (x,z) o y varia entre o plano y=z e o plano y=x+z.

Passo 3

Vamos calcular a integral iterada. Primeiro integramos em y:
\int_{z}^{x+z}x\,dy = x\bigl[y\bigr]_{y=z}^{y=x+z} = x\bigl((x+z)-z\bigr) = x\cdot x = x^2.

Passo 4

Substituindo no duplo:
\int_{0}^{1}\int_{2x}^{1+x}x^2\,dz\,dx =\int_{0}^{1}x^2\bigl[(1+x)-(2x)\bigr]\,dx =\int_{0}^{1}x^2(1 - x)\,dx.

Passo 5

Finalmente,
\int_{0}^{1}x^2(1 - x)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx =\bigl[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^4}{4}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4} =\tfrac{1}{12}.

Resposta

A região é
R = \{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;2x\le z\le1+x,\;z\le y\le x+z\}
e o valor da integral é \tfrac{1}{12}.

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