Calcule \iiint_{Q} d V, sendo Q a casca esférica dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede o volume da casca esférica
\,Q=\{(x,y,z)\mid 1\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq9\}
ou seja, calcular
\iiint_{Q}dV.
O conteúdo é o cálculo de volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta,
com jacobiano
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Os limites são
1 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le \pi,\quad 0 \le \varphi \le 2\pi.

Passo 3

O integral fica
\iiint_{Q}dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{1}^{3} r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Podemos separar os fatores:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2, \quad \int_{1}^{3}r^{2}\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{3} =\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}.

Resposta

\iiint_{Q}dV =2\pi\;\times\;2\;\times\;\frac{26}{3} =\frac{104}{3}\,\pi.

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