Calcule \iiint_{Q} d Y, sendo Q a casca esférica dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{Q} dY
onde Q é a casca esférica determinada pelas superfícies
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
Isso equivale a encontrar o volume da região entre as esferas de raio 2 e raio 3. Vamos usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
com o elemento de volume
dY = dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Na casca esférica r varia de 2 a 3, \varphi de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

Escrevendo a integral em coordenadas esféricas:
\iiint_{Q} dY = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi}\!\int_{r=2}^{3} r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Podemos separar em produto de integrais:
\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{2}^{3}r^{2}\,dr\Bigr).

Passo 4

Calculando cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos0)=2,
\int_{2}^{3}r^{2}\,dr = \Bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{3} = \tfrac{3^{3}-2^{3}}{3} = \tfrac{27-8}{3} = \tfrac{19}{3}.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
2\pi \times 2 \times \tfrac{19}{3} = \tfrac{76\pi}{3}.

Resposta

\iiint_{Q} dY = \frac{76\pi}{3}.

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