Investigar as integrais impróprias:
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{(x-1)^{3}}

Passo 1

O enunciado nos pede para investigar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(x-1)^{3}}.
O ponto de atenção é que há uma descontinuidade em x=1 (onde o denominador zera) e o limite superior é infinito. Vamos tratar cada caso usando a definição de integral imprópria.

Passo 2

Reescrevemos a integral como um limite duplo, primeiro afastando-nos de 1 por a>1, depois mandando o limite superior a um b:
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(x-1)^{3}} =\lim_{a\to1^+}\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}(x-1)^{-3}\,dx.

Passo 3

Precisamos da primitiva de (x-1)^{-3}. Usando a regra \int u^{n}du = u^{n+1}/(n+1) para n\neq -1, com u=x-1 e n=-3, obtemos
\int (x-1)^{-3}dx =-\tfrac12\,(x-1)^{-2}+C.

Passo 4

Avaliaremos agora a integral de a até b:
\int_{a}^{b}(x-1)^{-3}dx =\Bigl[-\tfrac12(x-1)^{-2}\Bigr]_{x=a}^{x=b} =-\tfrac12\bigl[(b-1)^{-2} - (a-1)^{-2}\bigr].

Passo 5

Tomamos o limite b\to+\infty. Como (b-1)^{-2}\to0, fica
\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}(x-1)^{-3}dx =-\tfrac12\bigl[0 - (a-1)^{-2}\bigr] =\tfrac12\,(a-1)^{-2}.

Passo 6

Agora a\to1^+. Note que (a-1)^{-2}\to+\infty, logo
\lim_{a\to1^+}\tfrac12\,(a-1)^{-2} =+\infty.

Resposta

A integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{(x-1)^{3}}
é divergente (vai para +\infty).

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