Calcule
\iiint_{E} z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V
11 onde E é o domínio que está acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfiera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
12 usando dois métodos:
a) Coordenadas cilíndricas,
b) Coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\iiint_{E} z\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dV
onde E é a parte do interior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 que está acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vamos usar dois métodos:
  • Coordenadas cilíndricas, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
  • Coordenadas esféricas, em que x=\rho\sin\varphi\cos\theta, y=\rho\sin\varphi\sin\theta, z=\rho\cos\varphi.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{r^{2}+z^{2}} e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. A região E fica
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le\frac1{\sqrt2},\quad r\le z\le\sqrt{1-r^{2}},
pois a intersecção cone-esfera dá r^{2}+r^{2}=1\implies r=1/\sqrt2. Assim o integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1/\sqrt2}\!\int_{z=r}^{\sqrt{1-r^{2}}} z\,\sqrt{r^{2}+z^{2}}\;r\,dz\,dr\,d\theta.
No interior use u=r^{2}+z^{2}, du=2z\,dz, então
\int_{z=r}^{\sqrt{1-r^{2}}}z\sqrt{r^{2}+z^{2}}\,dz =\frac{r}{2}\int_{u=2r^{2}}^{1}u^{1/2}du =\frac{r}{3}\Bigl[1-(2r^{2})^{3/2}\Bigr] =\frac{r}{3}\Bigl(1-2^{3/2}r^{3}\Bigr).
Logo
\iiint_E\cdots =2\pi\int_{0}^{1/\sqrt2}\frac{r}{3}\bigl(1-2^{3/2}r^{3}\bigr)dr =\frac{2\pi}{3}\Bigl[\tfrac12\,r^{2}-\tfrac{2^{3/2}}{5}r^{5}\Bigr]_{0}^{1/\sqrt2} =\frac{\pi}{10}.

Passo 3

Em coordenadas esféricas temos z=\rho\cos\varphi, \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. O cone z=r é \varphi=\pi/4, e a esfera é \rho=1. Assim
\iiint_{E}z\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{1} (\rho\cos\varphi)\,\rho\;\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\rho^{4}d\rho\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi.
Calculando,
\int_{0}^{1}\rho^{4}d\rho=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\frac12\sin^{2}\varphi\Big|_{0}^{\pi/4}=\frac12\cdot\frac12=\frac14,
logo o resultado é
2\pi\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{10}

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