Sempre justifique a sua resposta nos itens abaixo. Resposta sem justificativa será anulada.
A série \sum_{k=1}^{\infty} 6^{-k} converge ou diverge? Se converge, ela converge para qual valor?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a série
\sum_{k=1}^{\infty}6^{-k},
que é uma série geométrica. Para decidir convergência e, se convergir, achar sua soma, precisamos reconhecer que cada termo é da forma a_k = r^k com r=6^{-1}.

Passo 2

Uma série geométrica \sum_{k=1}^{\infty}r^k converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui
r = 6^{-1} = \tfrac{1}{6},
e \lvert r\rvert = \tfrac{1}{6}<1. Logo a série converge.

Passo 3

Quando \lvert r\rvert<1, a soma da série geométrica é
\sum_{k=1}^{\infty}r^k = \frac{r}{1-r}.
Isso decorre da fórmula da soma parcial S_n = r\frac{1-r^n}{1-r} e do fato de que r^n\to0.

Passo 4

No nosso caso, substituindo r=\tfrac{1}{6}, temos
\sum_{k=1}^{\infty}6^{-k} =\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^k =\frac{\tfrac{1}{6}}{1-\tfrac{1}{6}} =\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{5}{6}} =\frac{1}{5}.

Resposta

A série converge e seu valor é \tfrac{1}{5}.

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