3^{a} Questão (15 pontos): Resolva o Problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\cos (x)+3 e^{x} \\\ y(0)=4 \end{array}\right.
(Ou seja, encontre a solução da equação diferencial y^{\prime}=\cos (x)+3 e^{x} que satisfaz a condição y(0)=4.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos(x) + 3e^{x},\\\ y(0) = 4. \end{cases}
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem na forma y' = f(x). Como o lado direito depende só de x, podemos obter a solução geral integrando diretamente em relação a x.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x) = \int \bigl[\cos(x) + 3e^{x}\bigr]\,dx + C.
Agora separamos a integral:
\int \cos(x)\,dx = \sin(x), \qquad \int 3e^{x}\,dx = 3e^{x}.
Logo,
y(x) = \sin(x) + 3e^{x} + C.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=4. Substituindo x=0 em y(x):
y(0) = \sin(0) + 3e^{0} + C = 0 + 3\cdot1 + C = 3 + C.
Como isso deve valer 4, temos
3 + C = 4 \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = \sin(x) + 3e^{x} + 1.

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