Sempre justifique a sua resposta nos itens abaixo. Resposta sem justificativa será anulada.
Determine o limite da seguinte sequência numérica \left(\frac{\cos n}{\sqrt{n}}\right)_{n=1}^{\infty}=\cos n \cdot n^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_n = \frac{\cos n}{\sqrt{n}}.
Queremos calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo aqui é limite de sequência e aplicaremos o Teorema do Confronto, usando que o numerador é limitado e o denominador cresce indefinidamente.

Passo 2

Você lembra que o cosseno é sempre um número entre -1 e 1. Logo, para todo n, vale
-1 \le \cos n \le 1.

Passo 3

Como \sqrt{n} é positivo para n\ge1, podemos dividir a desigualdade por \sqrt{n} sem inverter os sinais, obtendo
-\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{\cos n}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 4

É bem conhecido que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0.
Portanto as duas sequências de comparação \bigl(-1/\sqrt{n}\bigr) e \bigl(1/\sqrt{n}\bigr) convergem para 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto (ou “da sanduíche”), como
-\frac{1}{\sqrt{n}} \;\le\; a_n \;\le\;\frac{1}{\sqrt{n}}
e ambas as extremas vão a zero, concluímos
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

0

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