1^{a} Questão: Resolva cada uma das seguintes integrais.
(15 pontos) \int_{1}^{2}\left(x^{3}+3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\bigl(x^{3}+3x^{2}\bigr)\,dx
O conteúdo envolvido é a integração de polinômios, usando a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{3}+3x^{2}. Aplicando a regra de potência a cada termo:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \quad \int 3x^{2}\,dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} = x^{3}.
Logo,
F(x) = \frac{x^{4}}{4} + x^{3}.

Passo 3

A integral definida de 1 a 2 é dada por
\int_{1}^{2}f(x)\,dx = F(2) - F(1).
Vamos calcular F(2) e F(1):
F(2) = \frac{2^{4}}{4} + 2^{3} = \frac{16}{4} + 8 = 4 + 8 = 12,
F(1) = \frac{1^{4}}{4} + 1^{3} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.

Passo 4

Subtraindo os valores:
\int_{1}^{2}\bigl(x^{3}+3x^{2}\bigr)\,dx = F(2) - F(1) = 12 - \frac{5}{4} = \frac{48}{4} - \frac{5}{4} = \frac{43}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{43}{4}

Exercícios relacionados