Calcule \iiint_{S} z \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, S=\left\{(x, y, z) ;(x-1)^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S} z \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy\,dz
onde
S=\{(x,y,z)\mid (x-1)^{2}+y^{2}\le1,\;0\le z\le4\}.
O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas, pois a região em xy é um disco deslocado.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
com jacobiano r. A equação (x-1)^{2}+y^{2}\le1 vira
(r\cos\theta-1)^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta \le1 \;\Longrightarrow\; r^{2}-2r\cos\theta\le0 \;\Longrightarrow\; r\le2\cos\theta,
com \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e 0\le r\le2\cos\theta. Também 0\le z\le4.

Passo 3

Em cilíndricas temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r,
logo o integrando é z\cdot r e o elemento de volume é r\,dr\,d\theta\,dz. A integral fica
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2\cos\theta} \int_{z=0}^{4} z\,r\;r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} \int_{0}^{4} z\,r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule primeiro a integral em z:
\int_{0}^{4}z\,dz =\Bigl[\tfrac{1}{2}z^{2}\Bigr]_{0}^{4} =\tfrac{1}{2}\cdot16 =8.
Logo a integral reduz a
8\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora a integral em r:
\int_{0}^{2\cos\theta}r^{2}\,dr =\Bigl[\tfrac{1}{3}r^{3}\Bigr]_{0}^{2\cos\theta} =\tfrac{1}{3}(2\cos\theta)^{3} =\tfrac{8}{3}\cos^{3}\theta.
Multiplicando por 8
\frac{64}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta.

Passo 6

Para simetria,
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta =2\cdot\frac{2}{3} =\frac{4}{3},
pois \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta\,d\theta=\frac{n-1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-2}\theta\,d\theta.

Passo 7

Substituindo,
\frac{64}{3}\cdot\frac{4}{3} =\frac{256}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{256}{9}

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