Exprima a integral \int_{0}^{\pi} \int_{3 \pi / 4}^{\pi} \int_{0}^{1} \rho^{5} \cos \theta \operatorname{sen}^{2} \varphi d \rho d \varphi d \theta como integral iterada em coordenadas retangulares.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
\int_{0}^{\pi}\int_{3\pi/4}^{\pi}\int_{0}^{1}\rho^{5}\cos\theta\,\operatorname{sen}^{2}\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta
como um integral iterada em coordenadas retangulares. Aqui usamos a mudança de variáveis esféricas
x=\rho\operatorname{sen}\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\operatorname{sen}\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi
com jacobiano \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi. Vamos ( 1) descrever a região E no espaço (x,y,z) a partir dos limites esféricos, ( 2) expressar o integrando em x,y,z, e ( 3) montar os limites em retangulares.

Passo 2

Determinar a região E. Dos limites esféricos temos
1. \rho\in[0,1] \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1. 2. \varphi\in[3\pi/4,\pi] \Rightarrow \cos\varphi=z/\rho\le\cos(3\pi/4)=-\tfrac{\sqrt2}{2}, ou seja
\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\le -\frac{\sqrt2}{2} \;\Longrightarrow\; z^{2}\ge x^{2}+y^{2},\quad z\le0.
3. \theta\in[0,\pi] \Rightarrow y=\rho\operatorname{sen}\varphi\sin\theta\ge0.
Portanto
E=\Bigl\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1,\;x^{2}+y^{2}\le z^{2},\;z\le0,\;y\ge0\Bigr\}.

Passo 3

Expressar o integrando em retangulares. Na integral esférica original o integrando efetivo (função vezes jacobiano) é
\rho^{5}\cos\theta\,\operatorname{sen}^{2}\varphi =\bigl[\rho^{3}\cos\theta\,\operatorname{sen}\varphi\bigr]\times\bigl[\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi\bigr].
Logo a função em esféricas antes do jacobiano é f(\rho,\theta,\varphi)=\rho^{3}\cos\theta\,\operatorname{sen}\varphi. Em retangulares fica
f(x,y,z) =\rho^{3}\cos\theta\,\operatorname{sen}\varphi =\rho^{2}\,x =x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}).
E o volume dV em retangulares é dx\,dy\,dz.

Passo 4

Escolher uma ordem para os limites. Vimos que, para cada z\in[-1,0], a projeção no plano xy é o semicírculo
x^{2}+y^{2}\le z^{2},\quad y\ge0.
Logo podemos tomar
z\;\text{de}\;-1\;\text{até}\;0,\quad x\;\text{de}\;-|z|\;\text{até}\;|z|,\quad y\;\text{de}\;0\;\text{até}\;\sqrt{z^{2}-x^{2}}.ééé
Como z\le0, temos |z|=-z, de modo que x varia de z até -z.

Passo 5

Montar a integral iterada em retangulares. Substituindo o integrando e os limites, obtemos
\int_{z=-1}^{0}\int_{x=z}^{-z}\int_{y=0}^{\sqrt{z^{2}-x^{2}}} \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,x\;dy\,dx\,dz.

Resposta

\int_{-1}^{0}\int_{x=z}^{-z}\int_{y=0}^{\sqrt{z^{2}-x^{2}}} \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,x\;dy\,dx\,dz.

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