Exprima a integral
como integral iterada em coordenadas retangulares.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever
como um integral iterada em coordenadas retangulares. Aqui usamos a mudança de variáveis esféricas
com jacobiano
. Vamos (
) descrever a região
no espaço
a partir dos limites esféricos, (
) expressar o integrando em
, e (
) montar os limites em retangulares.
Passo 2
Determinar a região
. Dos limites esféricos temos
.
.
, ou seja
Portanto
Passo 3
Expressar o integrando em retangulares. Na integral esférica original o integrando efetivo (função vezes jacobiano) é
Logo a função em esféricas antes do jacobiano é
. Em retangulares fica
E o volume
em retangulares é
.
Passo 4
Escolher uma ordem para os limites. Vimos que, para cada
, a projeção no plano
é o semicírculo
Logo podemos tomar
Como
, temos
, de modo que
varia de
até
.
Passo 5
Montar a integral iterada em retangulares. Substituindo o integrando e os limites, obtemos