Encontre o comprimento das curvas abaixo nos respectivos intervalos pedidos:
r(t)=( cost, sent, t)\, com \(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) para 0\le t\le \frac{\pi}{2}. O conteúdo é comprimento de arco de uma curva no espaço e vamos usar a fórmula
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\;dt.

Passo 2

Derivando coordenada a coordenada, obtemos
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t,1).
O módulo desse vetor é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1} =\sqrt{2}.

Passo 3

Como \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt2 é constante no intervalo, temos
L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt2\;dt =\sqrt2\bigl[t\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\sqrt2\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi\sqrt2}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\sqrt2}{2}

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