Prove que os sistemas de coordenadas listados a seguir são ortogonais:
parabólico cilíndrico

Passo 1

O que o exercício pede: provar que o sistema de coordenadas parabólico cilíndrico é ortogonal.
Informações (vou usar a definição padrão de coordenadas parabólicas cilíndricas):
x = u\,v,\qquad y = \tfrac{1}{2}\big(v^{2}-u^{2}\big),\qquad z = z,
onde \,u,v\in\mathbb{R} são as coordenadas parabólicas no plano xy e z é a coordenada cilíndrica usual.
O objetivo é mostrar que as superfícies coordenadas são mútuamente ortogonais, isto é, os vetores tangentes às linhas de coordenadas em cada ponto são ortogonais entre si.

Passo 2

Definição útil e estratégia: num sistema de coordenadas (u,v,z), formamos o vetor posição
\mathbf{r}(u,v,z) = \big(x(u,v,z),\,y(u,v,z),\,z(u,v,z)\big).
Os vetores base (não normalizados) das curvas coordenadas são as derivadas parciais
\mathbf{r}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u},\qquad \mathbf{r}_v=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v},\qquad \mathbf{r}_z=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.
Um sistema é ortogonal se e somente se esses vetores forem dois a dois ortogonais, ou seja, se
\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v=0,\qquad \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_z=0,\qquad \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_z=0
em todo ponto. Vou calcular esses vetores e seus produtos escalares.

Passo 3

Escrevo explicitamente o vetor posição usando a transformação dada:
\mathbf{r}(u,v,z)=\big(u v,\;\tfrac{1}{2}(v^{2}-u^{2}),\;z\big).

Passo 4

Calculo as derivadas parciais componente a componente (explicando cada derivada):
  • Derivando em relação a u: \frac{\partial}{\partial u}(u v)=v,\qquad \frac{\partial}{\partial u}\tfrac{1}{2}(v^{2}-u^{2})=-u,\qquad \frac{\partial}{\partial u}z=0.Logo \mathbf{r}_u=(v,\,-u,\,0).
  • Derivando em relação a v: \frac{\partial}{\partial v}(u v)=u,\qquad \frac{\partial}{\partial v}\tfrac{1}{2}(v^{2}-u^{2})=v,\qquad \frac{\partial}{\partial v}z=0.Logo \mathbf{r}_v=(u,\,v,\,0).
  • Derivando em relação a z: \mathbf{r}_z=(0,\,0,\,1).

Passo 5

Calculo os produtos escalares para verificar ortogonalidade (a explicação das contas é direta — produto componente a componente):
  • Produto escalar \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v: \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v = v\cdot u + (-u)\cdot v + 0\cdot 0 = uv - uv = 0.
  • Produto escalar \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_z: \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_z = v\cdot 0 + (-u)\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
  • Produto escalar \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_z: \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_z = u\cdot 0 + v\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.

Passo 6

Interpretação e conclusão técnica: como todos os produtos escalares entre vetores base são zero, os vetores base são dois a dois ortogonais em cada ponto. Isso significa que as superfícies coordenadas \{u=\text{const}\}, \{v=\text{const}\} e \{z=\text{const}\} se intersectam orthogonalmente — portanto o sistema é ortogonal.
Adicional (útil para provas): os fatores de escala (normas dos vetores base) são
h_u=\lVert\mathbf{r}_u\rVert=\sqrt{v^{2}+u^{2}},\qquad h_v=\lVert\mathbf{r}_v\rVert=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_z=\lVert\mathbf{r}_z\rVert=1,
e a métrica resulta em
\mathrm{d}s^{2}=(u^{2}+v^{2})\big(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2}\big)+\mathrm{d}z^{2},
mostrando explicitamente que a parte métrica cruzada é nula.

Resposta

O sistema parabólico cilíndrico é ortogonal.

Exercícios relacionados