Prove que os sistemas de coordenadas listados a seguir são ortogonais:
parabólico cilíndrico
parabólico cilíndrico
Passo 1
O que o exercício pede: provar que o sistema de coordenadas parabólico cilíndrico é ortogonal.
Informações (vou usar a definição padrão de coordenadas parabólicas cilíndricas):
onde
são as coordenadas parabólicas no plano
e
é a coordenada cilíndrica usual.
O objetivo é mostrar que as superfícies coordenadas são mútuamente ortogonais, isto é, os vetores tangentes às linhas de coordenadas em cada ponto são ortogonais entre si.
O objetivo é mostrar que as superfícies coordenadas são mútuamente ortogonais, isto é, os vetores tangentes às linhas de coordenadas em cada ponto são ortogonais entre si.
Passo 2
Definição útil e estratégia: num sistema de coordenadas
, formamos o vetor posição
Os vetores base (não normalizados) das curvas coordenadas são as derivadas parciais
Um sistema é ortogonal se e somente se esses vetores forem dois a dois ortogonais, ou seja, se
em todo ponto. Vou calcular esses vetores e seus produtos escalares.
Passo 3
Escrevo explicitamente o vetor posição usando a transformação dada:
Passo 4
Calculo as derivadas parciais componente a componente (explicando cada derivada):
- Derivando em relação a
: Logo - Derivando em relação a
: Logo - Derivando em relação a
:
Passo 5
Calculo os produtos escalares para verificar ortogonalidade (a explicação das contas é direta — produto componente a componente):
- Produto escalar
: - Produto escalar
: - Produto escalar
:
Passo 6
Interpretação e conclusão técnica: como todos os produtos escalares entre vetores base são zero, os vetores base são dois a dois ortogonais em cada ponto. Isso significa que as superfícies coordenadas
,
e
se intersectam orthogonalmente — portanto o sistema é ortogonal.
Adicional (útil para provas): os fatores de escala (normas dos vetores base) são
e a métrica resulta em
mostrando explicitamente que a parte métrica cruzada é nula.
Resposta
O sistema parabólico cilíndrico é ortogonal.