Calcule \iiint_{w} x dv, onde w é definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e y \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iiint_{w} x \, dv
onde w é a semi-bola sólida de raio 3 definida por
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\quad y\ge 0.
Vamos usar propriedades de simetria e, para confirmar, coordenadas esféricas.

Passo 2

Note que a região w é simétrica em relação ao plano x=0: se (x,y,z)\in w, então (-x,y,z)\in w também. Como a função integrando f(x,y,z)=x é ímpar em x, os valores positivos e negativos se anulam, logo
\iiint_{w}x\,dv=0.

Passo 3

Para confirmar, em coordenadas esféricas usamos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad dv=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
com \rho\in[0,3], \varphi\in[0,\pi] e, devido a y=\rho\sin\varphi\sin\theta\ge0, \theta\in[0,\pi]. Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{3} (\rho\sin\varphi\cos\theta)\, (\rho^{2}\sin\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\Bigl[\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta\Bigr]\times(\text{resto}),
mas \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=0. Logo a integral vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados