Questão 4( 5,0 pontos) a) ( 1,0 ponto) Reescrever a equação diferencial como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial, e resolver o sistema de equação diferencial.
\left\{\begin{aligned} \ddot{x} & =-x-y \\\ \dot{y} & =-2 \dot{x} \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem ligada a outra de primeira ordem:
\ddot{x}=-x-y, \quad \dot{y}=-2\dot{x}.
O conteúdo aqui é transformar em um sistema de primeira ordem na forma matricial e depois resolver esse sistema linear com coeficientes constantes. Para isso vamos precisar definir variáveis de estado, montar a matriz de coeficientes, achar os autovalores e autovetores e montar a solução geral.

Passo 2

Definimos o vetor de estado
\mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}u_{1}\u_{2}\u_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\\dot{x}\y\end{pmatrix}.
Então
u_{1}'=\dot{x}=u_{2},\quad u_{2}'=\ddot{x}=-x-y=-u_{1}-u_{3},\quad u_{3}'=\dot{y}=-2\dot{x}=-2u_{2}.
Em forma matricial fica
\mathbf{u}'(t)=A\,\mathbf{u}(t), \quad A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -1& 0 & -1\\\\ 0 & -2& 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Procuramos os autovalores de A resolvendo
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0\\\\ -1& -\lambda & -1\\\\ 0 & -2 & -\lambda \end{pmatrix} =-\lambda(\lambda^2-1)=0.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=0,\quad \lambda_{2}=1,\quad \lambda_{3}=-1.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada \lambda.
Para \lambda_{1}=0:
A\mathbf{v}=0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_{1}=(1,0,-1)^{T}.
Para \lambda_{2}=1:
(A-I)\mathbf{v}=0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_{2}=(1,1,-2)^{T}.
Para \lambda_{3}=-1:
(A+I)\mathbf{v}=0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_{3}=(1,-1,-2)^{T}.

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das exponenciais dos autovalores vezes os respectivos autovetores:
\mathbf{u}(t) =C_{1}\,\mathbf{v}_{1} +C_{2}\,e^{t}\,\mathbf{v}_{2} +C_{3}\,e^{-t}\,\mathbf{v}_{3}.
Escrevendo em componentes, temos
x(t)=u_{1}(t) =C_{1}+C_{2}\,e^{t}+C_{3}\,e^{-t},
\dot{x}(t)=u_{2}(t) =C_{2}\,e^{t}-C_{3}\,e^{-t},
y(t)=u_{3}(t) =-C_{1}-2\,C_{2}\,e^{t}-2\,C_{3}\,e^{-t}.

Resposta

x(t)=C_{1}+C_{2}\,e^{t}+C_{3}\,e^{-t}, \qquad y(t)=-C_{1}-2\,C_{2}\,e^{t}-2\,C_{3}\,e^{-t},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados