Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{\left[(a x)^{2}-b^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{dx}{\bigl[(a x)^{2}-b^{2}\bigr]^{3/2}},
que é um caso de antiderivada de (u^{2}-b^{2})^{-3/2}. Vamos usar uma substituição simples para chegar a esse formato.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = a x, \qquad du = a\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{a},
temos
\int \frac{dx}{\bigl[(a x)^{2}-b^{2}\bigr]^{3/2}} = \int \frac{1}{a}\,\frac{du}{\bigl(u^{2}-b^{2}\bigr)^{3/2}} = \frac{1}{a}\,\int \frac{du}{\bigl(u^{2}-b^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Para achar
\displaystyle \int (u^{2}-b^{2})^{-3/2}\,du, consideramos o candidato
F(u) = -\frac{u}{b^{2}\,\sqrt{u^{2}-b^{2}}}.
Derivando F, verifica-se que
F'(u) = -\frac{1\cdot b^{2}\sqrt{u^{2}-b^{2}} \;-\; u\cdot \displaystyle\frac{b^{2}\,u}{\sqrt{u^{2}-b^{2}}}} {\,b^{4}\,(u^{2}-b^{2})} = \frac{1}{(u^{2}-b^{2})^{3/2}}.
Logo
\int \frac{du}{(u^{2}-b^{2})^{3/2}} = -\frac{u}{b^{2}\sqrt{u^{2}-b^{2}}} + C.

Passo 4

Voltando à variável x e lembrando o fator 1/a, obtemos
\int \frac{dx}{\bigl[(a x)^{2}-b^{2}\bigr]^{3/2}} = \frac{1}{a}\,\Bigl(-\frac{u}{b^{2}\sqrt{u^{2}-b^{2}}}\Bigr) + C = -\frac{1}{a}\,\frac{a x}{b^{2}\sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}} + C = -\frac{x}{b^{2}\,\sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}} + C.

Resposta

-\frac{x}{b^{2}\,\sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}} + C.

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