Calcule \iiint_{w} z dv onde w é limitado por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 e z \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\iiint_{w} z \,dv
onde w é a metade inferior da esfera de raio 2, ou seja
w = \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4,\;z\le0\}.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para avaliar integrais triplas em regiões esféricas.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas esféricas:
\begin{cases} x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = \rho\cos\varphi, \end{cases} \quad dv = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Na metade inferior da esfera temos
0\le\rho\le2,\quad \pi/2\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

O integrando z vira \rho\cos\varphi. Logo
z\,dv = (\rho\cos\varphi)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\bigr) = \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Assim a integral se separa:
\iiint_{w}z\,dv = \int_{0}^{2\pi}d\theta \;\int_{0}^{2}\rho^{3}d\rho \;\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Calculamos cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{2}\rho^{3}d\rho = \left[\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} = 4.
Para o ângulo polar:
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi \quad\text{fazendo }u=\sin\varphi\,,\,du=\cos\varphi\,d\varphi \;\Rightarrow\; \int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{u=1}^{u=0}u\,du = \left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{1}^{0} = -\frac12.

Passo 5

Multiplicando tudo:
2\pi \times 4 \times \Bigl(-\tfrac12\Bigr) = -4\pi.

Resposta

-4\pi

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