Calcule \iiint_{w} z dv onde w é limitado por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 e z \leqslant 0
Passo 1
O enunciado pede o valor de
\iiint_{w} z \,dv
onde w é a metade inferior da esfera de raio 2, ou seja
w = \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4,\;z\le0\}.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para avaliar integrais triplas em regiões esféricas.
Passo 2
Fazemos a mudança para coordenadas esféricas:
\begin{cases} x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = \rho\cos\varphi, \end{cases} \quad dv = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.