e) ( 1,0 ponto) resolver sistema de equação diferencial pelo Método por eliminação.
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=y+z \\\ \frac{d y}{d t}=x+z \\\ \frac{d z}{d t}=x+y \end{array}\right.
Justifique todas as suas respostas! Apresente seu cálculos desenvolvendo todos os passos. contrário não será corrigida a questão, Entrega no dia 14/07/2025

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de equações diferenciais
\begin{cases} \frac{dx}{dt}=y+z,\\\ \frac{dy}{dt}=x+z,\\\ \frac{dz}{dt}=x+y, \end{cases}
com coeficientes constantes. Para resolver pelo método de eliminação, vamos fazer combinações lineares das três equações de modo a obter ODEs desacopladas para somas e diferenças das variáveis.

Passo 2

Definimos
S(t)=x(t)+y(t)+z(t).
Somando as três equações do sistema obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(x+y+z\bigr) =\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}+\frac{dz}{dt} =(y+z)+(x+z)+(x+y) =2(x+y+z).
Logo
S'(t)=2\,S(t).

Passo 3

Para eliminar outras variáveis, definimos as diferenças
P(t)=x(t)-y(t), \quad Q(t)=x(t)-z(t).
Subtraindo a segunda equação da primeira, vem
P'(t) =\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt} =(y+z)-(x+z) =y-x =-P(t).
De modo semelhante, subtraindo a terceira da primeira,
Q'(t) =\frac{dx}{dt}-\frac{dz}{dt} =(y+z)-(x+y) =z-x =-Q(t).

Passo 4

Agora resolvemos cada ODE de primeira ordem separada:
  1. Para S'(t)=2S(t), a solução geral é S(t)=C_{1}e^{2t}.
  2. Para P'(t)=-P(t), a solução geral é P(t)=C_{2}e^{-t}.
  3. Para Q'(t)=-Q(t), a solução geral é Q(t)=C_{3}e^{-t}.
Aqui C_{1},C_{2},C_{3} são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Falta voltar a (x,y,z)\). Sabemos \[\begin{cases} P = x - y,\\\ Q = x - z,\\\ S = x + y + z. \end{cases}
A partir de y=x-P\] e \(z=x-Q e de
S = x + (x-P)+(x-Q) = 3x - P - Q,
segue
x = \frac{S+P+Q}{3}, \quad y = x - P = \frac{S+P+Q}{3} - P, \quad z = x - Q = \frac{S+P+Q}{3} - Q.
Substituindo S=C_{1}e^{2t}, P=C_{2}e^{-t}, Q=C_{3}e^{-t}, obtemos:
x(t) =\frac{C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{-t}}{3},
y(t) =\frac{C_{1}e^{2t}-2\,C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{-t}}{3},
z(t) =\frac{C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}-2\,C_{3}e^{-t}}{3}.

Resposta

x(t) =\frac{C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{-t}}{3}, \quad y(t) =\frac{C_{1}e^{2t}-2C_{2}e^{-t}+C_{3}e^{-t}}{3}, \quad z(t) =\frac{C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}-2C_{3}e^{-t}}{3},
com C_{1},C_{2},C_{3} constantes de integração.

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