Calcule a massa do cilindro x^{2}+y^{2}=1 para 0 \leqslant z \leqslant 1, admitindo que sua densidade é f(x, y ; z)=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a massa de um cilindro definido por
x^{2}+y^{2}=1,\quad 0\le z\le1
com densidade \,f(x,y;z)=y^{2}.
O conteúdo aqui é o cálculo de massa via integral tripla
M=\iiint_{\text{cilindro}}f(x,y;z)\,dV.

Passo 2

Para aproveitar a simetria circular, usamos coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
onde 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi e 0\le z\le1.
O elemento de volume é \,dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas a densidade vira
f=y^{2}=(r\sin\theta)^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta.
Portanto a massa é
M=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\sin^{2}\theta\;(r\,dr\,d\theta\,dz).

Passo 4

Integramos primeiro em z, pois o integrando não depende de z:
\int_{0}^{1}dz=1,
logo
M=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}r^{3}\sin^{2}\theta\,d\theta\,dr.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta =\pi
(é resultado clássico que \sin^{2}\theta tem média 1/2 em um período).
Logo
M=\pi\int_{0}^{1}r^{3}\,dr.

Passo 6

Finalmente, integramos em r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr =\frac{1}{4}.
Portanto
M=\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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