Calcule o volume do sólido limitado por z=0, x^{2}+y^{2}=9, z=2+x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies \,z=0, o cilindro \,x^{2}+y^{2}=9 e o paraboloide \,z=2+x^{2}+y^{2}. Vamos usar integração dupla sobre a projeção no plano xy e coordenadas cilíndricas para facilitar o cálculo.

Passo 2

A projeção do sólido no plano xy é o disco
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\},
ou seja, em coordenadas cilíndricas r varia de 0 a 3 e \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

O volume é dado por
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{topo}}-z_{\text{fundo}}\bigr)\,dA =\iint_{D}\bigl((2+x^{2}+y^{2})-0\bigr)\,dA =\iint_{D}\bigl(2+x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA = r\,dr\,d\theta. Então
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\bigl(2 + r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\bigl(2r + r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculando a integral interna em r:
\int_{0}^{3}\bigl(2r + r^{3}\bigr)\,dr = \Bigl[r^{2} + \tfrac{1}{4}r^{4}\Bigr]_{0}^{3} = 3^{2} + \tfrac{1}{4}3^{4} = 9 + \tfrac{81}{4} = \tfrac{36+81}{4} = \tfrac{117}{4}.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \tfrac{117}{4}\,d\theta = \tfrac{117}{4}\,\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \tfrac{117}{4}\cdot 2\pi = \tfrac{117\pi}{2}.

Resposta

V = \frac{117\pi}{2}.

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