Calcule \iint_{D} x dA onde D é limitada por y=e^{x} e y=-x, com 0 \leq x<2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região no plano limitada pelas curvas
e
para
. Vamos usar coordenadas cartesianas e escrever a integral dupla como uma integral iterada em
e depois em
.
Passo 2
Para cada
fixo em
, a variável
varia de
(a reta) até
(a exponencial). Logo
Passo 3
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Passo 4
A integral passa a ser
Para
usamos integração por partes, com
e
:
E pela regra da potência,
Passo 5
Somando os resultados: