Calcule \iint_{D} x dA onde D é limitada por y=e^{x} e y=-x, com 0 \leq x<2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,dA
onde D é a região no plano limitada pelas curvas y=e^{x} e y=-x para 0 \le x \le 2. Vamos usar coordenadas cartesianas e escrever a integral dupla como uma integral iterada em y e depois em x.

Passo 2

Para cada x fixo em [0,2], a variável y varia de y=-x (a reta) até y=e^{x} (a exponencial). Logo
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{2}\!\Bigl(\int_{-x}^{e^{x}} x\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{-x}^{e^{x}} x\,dy = x\bigl[y\bigr]_{y=-x}^{y=e^{x}} = x\bigl(e^{x}-(-x)\bigr) = x\bigl(e^{x}+x\bigr).

Passo 4

A integral passa a ser
\int_{0}^{2} x\bigl(e^{x}+x\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} x e^{x}\,dx \;+\;\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
Para \int_{0}^{2} x e^{x}\,dx usamos integração por partes, com u=x e dv=e^{x}dx:
\int_{0}^{2} x e^{x}\,dx =\bigl[x e^{x}\bigr]_{0}^{2} -\int_{0}^{2} e^{x}\,dx =2e^{2}-(e^{2}-1) =e^{2}+1.
E pela regra da potência,
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =\frac{8}{3}.

Passo 5

Somando os resultados:
\iint_{D} x\,dA =(e^{2}+1)+\frac{8}{3} =e^{2}+\frac{11}{3} =\frac{3e^{2}+11}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{3e^{2}+11}{3}

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