Calcule \iiint_{E} x^{2} y z d V nos seguintes casos:
O sólido E é o paralelepípedo dado por 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} x^{2} y z \, dV
onde o sólido E é o paralelepípedo com as coordenadas variando assim:
0 \leq x \leq 1,\quad 0 \leq y \leq 1,\quad 0 \leq z \leq 2.
Informações relevantes dadas:
O domínio E é um retângulo (paralelepípedo) no espaço tridimensional com os limites explícitos para x,y,z.
A função a integrar é x^{2} y z.
O objetivo é obter o valor numérico da integral tripla sobre E.
Passo 2
Comentário didático sobre como proceder: como E é um paralelepípedo (produto de intervalos) e a função x^{2}y z é contínua em E, podemos aplicar o teorema de Fubini para transformar a integral tripla numa iterada e, além disso, como a função fatoriza em funções de uma só variável (x^{2}y z = (x^{2})(y)(z)), a integral separa-se como produto de integrais unidimensionais. Escrevemos então a integral iterada (uma ordenação possível é dx\,dy\,dz):
\iiint_{E} x^{2} y z \, dV = \int_{z=0}^{2}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} x^{2} y z \, dx\, dy\, dz.
Agora usamos a propriedade de separação:
x^{2} y z = (x^{2})\,(y)\,(z),
portanto
\int_{z=0}^{2}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} x^{2} y z \, dx\, dy\, dz = \left(\int_{0}^{1} x^{2}\, dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\, dy\right)\left(\int_{0}^{2} z\, dz\right).
Explico rápido as integrais unidimensionais: para integrar uma função polinomial t^{n} usamos a primitiva \frac{t^{n+1}}{n+1}. Vou aplicar isso passo a passo a seguir.
Passo 3
Calcule \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\, dx.
A primitiva de x^{2} é \frac{x^{3}}{3}. Avaliando nos limites: