Calcule a integral tripla
\iiint_{[0,1]^{3}}(x+y+z) d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{[0,1]^{3}}(x+y+z)\,dV.
Informações dadas:
  • A região de integração é o cubo [0,1]^{3}=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}.
  • A função a ser integrada é x+y+z.
    O que se pede: encontrar o valor numérico da integral tripla acima.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades fundamentais de integrais múltiplas que tornam esta conta simples:
  1. Linearidade da integral: para funções f e g e constantes,
\iiint (f+g)\,dV=\iiint f\,dV+\iiint g\,dV.
Aplicando isso ao integrando x+y+z temos a separação
\iiint_{[0,1]^3}(x+y+z)\,dV=\iiint_{[0,1]^3}x\,dV+\iiint_{[0,1]^3}y\,dV+\iiint_{[0,1]^3}z\,dV.
  1. Teorema de Fubini / separação em retângulos: como o domínio é um produto de intervalos, uma integral tripla pode ser escrita como integral iterada e, quando o integrando é produto de funções de variáveis separadas (ou quando apropriado), a integral pode se decompor em produto de integrais 1D. No nosso caso, mesmo não sendo produto, ao integrar em ordem conveniente cada termo separa-se em fatores 1D. Em particular, para o termo \iiint_{[0,1]^3}x\,dV vale
\iiint_{[0,1]^3}x\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x\,dx\,dy\,dz.

Passo 3

Explicar o elemento de volume e como montar a iterada: aqui dV significa dx\,dy\,dz. Assim, para o termo com x temos, pela independência dos limites,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{0}^{1} x\,dx\right) \left(\int_{0}^{1} dy\right) \left(\int_{0}^{1} dz\right).
Isto ocorre porque dentro da integral sobre y e z a função x é constante (quando se integra primeiro em x ela só depende de x), então os fatores se multiplicam.

Passo 4

Calcular as integrais unidimensionais necessárias. Primeiro a integral de x em 0 a 1:
A primitiva (antiderivada) de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Logo
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{1}{2}.
As integrais de 1 em 0 a 1 (que aparecem para y e z) são
\int_{0}^{1} dy = 1,\qquad \int_{0}^{1} dz = 1.

Passo 5

Concluir o valor de \iiint_{[0,1]^3} x\,dV. Multiplicando os fatores do Passo 3 e Passo 4:
\iiint_{[0,1]^3} x\,dV = \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Pelo mesmo raciocínio (ou usando simetria do cubo), os termos com y e com z têm o mesmo valor:
\iiint_{[0,1]^3} y\,dV = \dfrac{1}{2},\qquad \iiint_{[0,1]^3} z\,dV = \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Somar os três resultados (linha da linearidade do Passo 2):
\iiint_{[0,1]^3}(x+y+z)\,dV = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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