Calcule
onde
é o volume de uma esfera com centro na origem e raio a.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o volume de uma esfera centrada na origem com raio
. As informações relevantes são:
- A região de integração
é a esfera de centro na origem e raio . - A função a integrar é
. - O parâmetro
é o raio (assumimos ).
A resposta final pedida é o valor numérico em função de.
Passo 2
Por que usar coordenadas esféricas? Vou explicar de maneira direta e amistosa: a região
é uma esfera — em coordenadas esféricas a esfera tem limites simples (o raio varia de
a
, os ângulos têm intervalos fixos), e a expressão
fica muito simples (fica apenas
). Então o cálculo fica bem limpinho. Agora apresento as definições das coordenadas esféricas que vou usar (essas são as clássicas):
onde
é o raio,
é o ângulo polar (colatitude) e
é o ângulo azimutal. Importante: o elemento de volume em coordenadas esféricas é
Explico rápido por que aparece
: um pequeno incremento
alonga radialmente; os incrementos angulares geram arcos de comprimento
e
; o volume aproximado é o produto desses comprimentos, resultando em
. Não precisa decorar sem entender — essa é a ideia geométrica.
Passo 3
Transformando o integrando: note que
Portanto, na mudança para esféricas, o integrando fica
e o elemento de volume adiciona outro
. Assim o integrando total na nova variável é
.
Passo 4
Agora escrevo a integral tripla com os limites em coordenadas esféricas. Para a esfera de raio
temos
,
,
. Então
Passo 5
A integral é separável porque o integrando é produto de uma função de
e de uma função de
e
constantes. Posso separar:
Vou calcular cada uma dessas três integrais simples.
Passo 6
Calculo da integral em
:
Explicação: é só a medida do intervalo de
a
.
Passo 7
Calculo da integral em
:
Uma primitiva de
é
. Avaliando nos limites:
Então o resultado é
.
Passo 8
Calculo da integral em
:
Uma primitiva de
é
. Avaliando:
Passo 9
Multiplico os três resultados:
Portanto a integral pedida vale
.