Calcule \iiint\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} onde V é o volume de uma esfera com centro na origem e raio a. \left(\operatorname{Resp} \cdot \frac{4 \pi a^{5}}{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_V \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\,dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3},
onde V é o volume de uma esfera centrada na origem com raio a. As informações relevantes são:
  • A região de integração V é a esfera de centro na origem e raio a.
  • A função a integrar é x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}.
  • O parâmetro a é o raio (assumimos a>0).
    A resposta final pedida é o valor numérico em função de a.

Passo 2

Por que usar coordenadas esféricas? Vou explicar de maneira direta e amistosa: a região V é uma esfera — em coordenadas esféricas a esfera tem limites simples (o raio varia de 0 a a, os ângulos têm intervalos fixos), e a expressão x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} fica muito simples (fica apenas r^{2}). Então o cálculo fica bem limpinho. Agora apresento as definições das coordenadas esféricas que vou usar (essas são as clássicas):
x_{1} = r\sin\theta\cos\varphi,\quad x_{2} = r\sin\theta\sin\varphi,\quad x_{3} = r\cos\theta,
onde r\ge 0 é o raio, \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar (colatitude) e \varphi\in[0,2\pi] é o ângulo azimutal. Importante: o elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Explico rápido por que aparece r^{2}\sin\theta: um pequeno incremento dr alonga radialmente; os incrementos angulares geram arcos de comprimento r\,d\theta e r\sin\theta\,d\varphi; o volume aproximado é o produto desses comprimentos, resultando em dr\cdot(r\,d\theta)\cdot(r\sin\theta\,d\varphi)=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Não precisa decorar sem entender — essa é a ideia geométrica.

Passo 3

Transformando o integrando: note que
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}.
Portanto, na mudança para esféricas, o integrando fica r^{2} e o elemento de volume adiciona outro r^{2}\sin\theta. Assim o integrando total na nova variável é r^{2}\cdot r^{2}\sin\theta = r^{4}\sin\theta.

Passo 4

Agora escrevo a integral tripla com os limites em coordenadas esféricas. Para a esfera de raio a temos r\in[0,a], \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi]. Então
\iiint_V \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} r^{4}\sin\theta \,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

A integral é separável porque o integrando é produto de uma função de r e de uma função de \theta e \varphi constantes. Posso separar:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi \;\cdot\; \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{a} r^{4}\,dr.
Vou calcular cada uma dessas três integrais simples.

Passo 6

Calculo da integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Explicação: é só a medida do intervalo de 0 a 2\pi.

Passo 7

Calculo da integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Uma primitiva de \sin\theta é -\cos\theta. Avaliando nos limites:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi} = \big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos 0\big) = -(-1)-(-1)=1+1=2.
Então o resultado é 2.

Passo 8

Calculo da integral em r:
\int_{0}^{a} r^{4}\,dr.
Uma primitiva de r^{4} é \dfrac{r^{5}}{5}. Avaliando:
\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \left[\dfrac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{a} = \dfrac{a^{5}}{5}-0 = \dfrac{a^{5}}{5}.

Passo 9

Multiplico os três resultados:
\left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{a} r^{4}\,dr\right) = (2\pi)\cdot(2)\cdot\left(\dfrac{a^{5}}{5}\right) = \dfrac{4\pi a^{5}}{5}.
Portanto a integral pedida vale \dfrac{4\pi a^{5}}{5}.

Resposta

\dfrac{4\pi a^{5}}{5}

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