Expresse os vetores velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O enunciado pede que eu expresse os vetores velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Informações dadas (implícitas no enunciado) e o que preciso produzir:
Informações dadas (implícitas no enunciado) e o que preciso produzir:
- Em coordenadas cilíndricas: as variáveis são
e os versores locais são . Quero as fórmulas para e em termos de . - Em coordenadas esféricas: as variáveis são
, com o ângulo polar (colatitude, medindo a partir do eixo ) e o azimute; os versores locais são . Quero e em termos de . - Vou derivar passo a passo, mostrando como obter cada termo (derivada dos versores, regras do produto, interpretação física).
Passo 2
Coordenadas cilíndricas — definições e versores:
- As coordenadas são
com , , . - Versores (em função dos versores cartesianos
):
- Observação importante:
e dependem de , isto é, variam com o tempo se . - Vetor posição:
Antes de derivar, preciso das derivadas temporais dos versores (pela regra da cadeia, derivando em relação a
):
Expliquei: essas fórmulas vêm de derivar
e
em relação a
— por isso aparece
.
Passo 3
Coordenadas cilíndricas — velocidade (derivando
):
Usando e a regra do produto:
Usando
Substituo
:
Interpretação dos termos:
-
: componente radial (variação do comprimento ); -
: componente tangencial (velocidade angular vezes raio, lembra ); -
: variação axial.
Passo 4
Coordenadas cilíndricas — aceleração (derivando
):
Parto de . Uso regra do produto em cada termo e as derivadas dos versores.
Parto de
- Derivada de
:
- Derivada de
:
E
, então
- Derivada de
:
Agora somo 1), 2) e 3):
- Componentes em
:
- Componentes em
:
- Componente em
: .
Portanto a aceleração final é
Interpretação física rápida:
-
é a aceleração centrípeta (aponta para o centro); -
é um termo tipo Coriolis que aparece quando varia enquanto há rotação.
Passo 5
Pequeno exemplo em cilíndricas (para fixar):
- Movimento circular uniforme no plano
const com constante e constante. Então . As fórmulas dão
como você aprendeu para movimento circular — perfeito.
Passo 6
Coordenadas esféricas — definições e versores:
- Variáveis:
com , (ângulo polar, colatitude, medido a partir do eixo ), (azimute). - Versores em termos de
:
- Observação:
e dependem de e ; depende de . - Vetor posição:
Agora preciso das derivadas temporais dos versores (usando a regra da cadeia com
e
). São fórmulas padrão (vou escrevê-las e depois usá-las):
Essas vêm de derivar as componentes em função de
.
Passo 7
Coordenadas esféricas — velocidade (derivando
):
Substituindo
:
Interpretação:
-
: componente radial (alongamento/encolhimento do raio); -
: componente polar (variação do ângulo ); -
: componente azimutal (velocidade tangencial ao giro em torno do eixo ).
Passo 8
Coordenadas esféricas — aceleração (derivando
):
Parto de e aplico produto e as derivadas dos versores dadas no Passo 6.
Parto de
Faço termo a termo:
-
-
Com, esse termo vira
-
. Aqui há produto de três fatores , , e depois . Faço passo a passo:
- derivada escalar:
- então
E
, portanto
Agora somo os componentes em cada versor (
):
Componente em
:
- de 1):
- de 2):
- de 3):
Somando:
Componente em
:
- de 1):
- de 2):
- de 3):
(veio do último termo de 3))
Somando:
Componente em
:
- de 1):
- de 2):
- de 3):
(o termo escalar que multiplica )
Ao agrupar e simplificar (observe que alguns termos somam):
(uma forma equivalente e muito usada é fatorar
quando conveniente).
Portanto a aceleração em coordenadas esféricas fica:
Passo 9
Exemplos em esféricas (para intuir os termos):
- Movimento radial puro:
constantes ( ). Então
ou seja, apenas aceleração radial — faz sentido.
- Movimento em superfície esférica com
constante e const, . Então e
ou seja, há componente centrípeta radial
associada à rotação azimutal.