Expresse os vetores velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede que eu expresse os vetores velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Informações dadas (implícitas no enunciado) e o que preciso produzir:
  • Em coordenadas cilíndricas: as variáveis são (r,\varphi,z) e os versores locais são \hat e_r,\hat e_\varphi,\hat e_z. Quero as fórmulas para \vec v e \vec a em termos de \dot r,\ddot r,\dot\varphi,\ddot\varphi,\dot z,\ddot z.
  • Em coordenadas esféricas: as variáveis são (r,\theta,\varphi), com \theta o ângulo polar (colatitude, medindo a partir do eixo +z) e \varphi o azimute; os versores locais são \hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi. Quero \vec v e \vec a em termos de \dot r,\ddot r,\dot\theta,\ddot\theta,\dot\varphi,\ddot\varphi.
  • Vou derivar passo a passo, mostrando como obter cada termo (derivada dos versores, regras do produto, interpretação física).

Passo 2

Coordenadas cilíndricas — definições e versores:
  • As coordenadas são (r,\varphi,z) com r\ge0, \varphi\in[0,2\pi), z\in\mathbb R.
  • Versores (em função dos versores cartesianos \hat i,\hat j,\hat k):
\hat e_r = \cos\varphi\,\hat i + \sin\varphi\,\hat j, \qquad \hat e_\varphi = -\sin\varphi\,\hat i + \cos\varphi\,\hat j, \qquad \hat e_z = \hat k.
  • Observação importante: \hat e_r e \hat e_\varphi dependem de \varphi, isto é, variam com o tempo se \varphi=\varphi(t).
  • Vetor posição:
\vec r = r\,\hat e_r + z\,\hat e_z.
Antes de derivar, preciso das derivadas temporais dos versores (pela regra da cadeia, derivando em relação a \varphi):
\dot{\hat e}_r = \dot\varphi\,\hat e_\varphi, \qquad \dot{\hat e}_\varphi = -\dot\varphi\,\hat e_r, \qquad \dot{\hat e}_z = \vec 0.
Expliquei: essas fórmulas vêm de derivar \cos\varphi e \sin\varphi em relação a t — por isso aparece \dot\varphi.

Passo 3

Coordenadas cilíndricas — velocidade (derivando \vec r):
Usando \vec r = r\hat e_r + z\hat e_z e a regra do produto:
\vec v = \dot{\vec r} = \dot r\,\hat e_r + r\,\dot{\hat e}_r + \dot z\,\hat e_z.
Substituo \dot{\hat e}_r = \dot\varphi\,\hat e_\varphi:
\vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\varphi\,\hat e_\varphi + \dot z\,\hat e_z.
Interpretação dos termos:
  • \dot r\,\hat e_r: componente radial (variação do comprimento r);
  • r\dot\varphi\,\hat e_\varphi: componente tangencial (velocidade angular vezes raio, lembra v_\text{tang}=r\omega);
  • \dot z\,\hat e_z: variação axial.

Passo 4

Coordenadas cilíndricas — aceleração (derivando \vec v):
Parto de \vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\varphi\,\hat e_\varphi + \dot z\,\hat e_z. Uso regra do produto em cada termo e as derivadas dos versores.
  1. Derivada de \dot r\,\hat e_r:
\frac{d}{dt}(\dot r\,\hat e_r) = \ddot r\,\hat e_r + \dot r\,\dot{\hat e}_r = \ddot r\,\hat e_r + \dot r\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi.
  1. Derivada de r\dot\varphi\,\hat e_\varphi:
\frac{d}{dt}(r\dot\varphi\,\hat e_\varphi) = ( \dot r\dot\varphi + r\ddot\varphi )\hat e_\varphi + r\dot\varphi\,\dot{\hat e}_\varphi.
E \dot{\hat e}_\varphi = -\dot\varphi\,\hat e_r, então
\frac{d}{dt}(r\dot\varphi\,\hat e_\varphi) = (\dot r\dot\varphi + r\ddot\varphi)\hat e_\varphi - r\dot\varphi^2\,\hat e_r.
  1. Derivada de \dot z\,\hat e_z:
\frac{d}{dt}(\dot z\,\hat e_z) = \ddot z\,\hat e_z.
Agora somo 1), 2) e 3):
  • Componentes em \hat e_r:
\ddot r\;(\text{de 1})\; - r\dot\varphi^2\;(\text{de 2}) \Rightarrow \ddot r - r\dot\varphi^2.
  • Componentes em \hat e_\varphi:
\dot r\dot\varphi\;(\text{de 1})\; + (\dot r\dot\varphi + r\ddot\varphi)\;(\text{de 2}) \Rightarrow 2\dot r\dot\varphi + r\ddot\varphi.
  • Componente em \hat e_z: \ddot z.
    Portanto a aceleração final é
\boxed{\vec a = \bigl(\ddot r - r\dot\varphi^2\bigr)\hat e_r + \bigl(r\ddot\varphi + 2\dot r\dot\varphi\bigr)\hat e_\varphi + \ddot z\,\hat e_z.}
Interpretação física rápida:
  • -r\dot\varphi^2\,\hat e_r é a aceleração centrípeta (aponta para o centro);
  • 2\dot r\dot\varphi\,\hat e_\varphi é um termo tipo Coriolis que aparece quando r varia enquanto há rotação.

Passo 5

Pequeno exemplo em cilíndricas (para fixar):
  • Movimento circular uniforme no plano z=const com r=R constante e \dot\varphi=\omega constante. Então \dot r=0,\ddot r=0,\ddot\varphi=0,\dot z=0,\ddot z=0. As fórmulas dão
\vec v = R\omega\,\hat e_\varphi, \qquad \vec a = -R\omega^2\,\hat e_r,
como você aprendeu para movimento circular — perfeito.

Passo 6

Coordenadas esféricas — definições e versores:
  • Variáveis: (r,\theta,\varphi) com r\ge0, \theta\in[0,\pi] (ângulo polar, colatitude, medido a partir do eixo +z), \varphi\in[0,2\pi) (azimute).
  • Versores em termos de \hat i,\hat j,\hat k:
\hat e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\hat i + \sin\theta\sin\varphi\,\hat j + \cos\theta\,\hat k,
\hat e_\theta = \cos\theta\cos\varphi\,\hat i + \cos\theta\sin\varphi\,\hat j - \sin\theta\,\hat k,
\hat e_\varphi = -\sin\varphi\,\hat i + \cos\varphi\,\hat j.
  • Observação: \hat e_r e \hat e_\theta dependem de \theta e \varphi; \hat e_\varphi depende de \varphi.
  • Vetor posição:
\vec r = r\,\hat e_r.
Agora preciso das derivadas temporais dos versores (usando a regra da cadeia com \dot\theta e \dot\varphi). São fórmulas padrão (vou escrevê-las e depois usá-las):
\dot{\hat e}_r = \dot\theta\,\hat e_\theta + \dot\varphi\,\sin\theta\,\hat e_\varphi,
\dot{\hat e}_\theta = -\dot\theta\,\hat e_r + \dot\varphi\,\cos\theta\,\hat e_\varphi,
\dot{\hat e}_\varphi = -\dot\varphi\bigl(\sin\theta\,\hat e_r + \cos\theta\,\hat e_\theta\bigr).
Essas vêm de derivar as componentes em função de \theta(t),\varphi(t).

Passo 7

Coordenadas esféricas — velocidade (derivando \vec r):
\vec v = \dot{\vec r} = \dot r\,\hat e_r + r\,\dot{\hat e}_r.
Substituindo \dot{\hat e}_r:
\vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi.
Interpretação:
  • \dot r\,\hat e_r: componente radial (alongamento/encolhimento do raio);
  • r\dot\theta\,\hat e_\theta: componente polar (variação do ângulo \theta);
  • r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi: componente azimutal (velocidade tangencial ao giro em torno do eixo z).

Passo 8

Coordenadas esféricas — aceleração (derivando \vec v):
Parto de \vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi e aplico produto e as derivadas dos versores dadas no Passo 6.
Faço termo a termo:
  1. \dfrac{d}{dt}(\dot r\,\hat e_r) = \ddot r\,\hat e_r + \dot r\,\dot{\hat e}_r = \ddot r\,\hat e_r + \dot r(\dot\theta\,\hat e_\theta + \dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\varphi).
  2. \dfrac{d}{dt}(r\dot\theta\,\hat e_\theta) = (\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\hat e_\theta + r\dot\theta\,\dot{\hat e}_\theta.
    Com \dot{\hat e}_\theta = -\dot\theta\,\hat e_r + \dot\varphi\cos\theta\,\hat e_\varphi, esse termo vira
(\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\hat e_\theta + r\dot\theta(-\dot\theta\,\hat e_r + \dot\varphi\cos\theta\,\hat e_\varphi).
  1. \dfrac{d}{dt}(r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi). Aqui há produto de três fatores r, \sin\theta, \dot\varphi e depois \hat e_\varphi. Faço passo a passo:
  • derivada escalar: \dfrac{d}{dt}(r\sin\theta\,\dot\varphi) = \dot r\sin\theta\,\dot\varphi + r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi + r\sin\theta\,\ddot\varphi.
  • então
\frac{d}{dt}(r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi) = \bigl(\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi + r\sin\theta\,\ddot\varphi\bigr)\hat e_\varphi + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\dot{\hat e}_\varphi.
E \dot{\hat e}_\varphi = -\dot\varphi(\sin\theta\,\hat e_r + \cos\theta\,\hat e_\theta), portanto
r\sin\theta\,\dot\varphi\,\dot{\hat e}_\varphi = -r\sin\theta\,\dot\varphi^2(\sin\theta\,\hat e_r + \cos\theta\,\hat e_\theta).
Agora somo os componentes em cada versor ( \hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi):
Componente em \hat e_r:
  • de 1): \ddot r
  • de 2): r\dot\theta(-\dot\theta) = -r\dot\theta^2
  • de 3): -r\sin\theta\,\dot\varphi^2\sin\theta = -r\sin^2\theta\,\dot\varphi^2
    Somando:
a_r = \ddot r - r\dot\theta^2 - r\sin^2\theta\,\dot\varphi^2.
Componente em \hat e_\theta:
  • de 1): \dot r\dot\theta
  • de 2): \dot r\dot\theta + r\ddot\theta
  • de 3): -r\sin\theta\,\dot\varphi^2\cos\theta (veio do último termo de 3))
    Somando:
a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2.
Componente em \hat e_\varphi:
  • de 1): \dot r\dot\varphi\sin\theta
  • de 2): r\dot\theta\,\dot\varphi\cos\theta
  • de 3): \dot r\sin\theta\,\dot\varphi + r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi + r\sin\theta\,\ddot\varphi (o termo escalar que multiplica \hat e_\varphi)
    Ao agrupar e simplificar (observe que alguns termos somam):
a_\varphi = r\sin\theta\,\ddot\varphi + 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + 2r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi.
(uma forma equivalente e muito usada é fatorar r\sin\theta quando conveniente).
Portanto a aceleração em coordenadas esféricas fica:
\boxed{\vec a = \bigl(\ddot r - r\dot\theta^2 - r\sin^2\theta\,\dot\varphi^2\bigr)\hat e_r + \bigl(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2\bigr)\hat e_\theta + \bigl(r\sin\theta\,\ddot\varphi + 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + 2r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi\bigr)\hat e_\varphi.}

Passo 9

Exemplos em esféricas (para intuir os termos):
  • Movimento radial puro: \theta,\varphi constantes ( \dot\theta=\dot\varphi=0). Então
\vec v = \dot r\,\hat e_r,\qquad \vec a = \ddot r\,\hat e_r,
ou seja, apenas aceleração radial — faz sentido.
  • Movimento em superfície esférica com r=R constante e \theta=const, \dot\varphi=\omega. Então \dot r=0,\dot\theta=0,\dot\varphi=\omega e
\vec v = R\sin\theta\,\omega\,\hat e_\varphi,\qquad \vec a = -R\sin^2\theta\,\omega^2\,\hat e_r + 0\cdot\hat e_\theta + 0\cdot\hat e_\varphi,
ou seja, há componente centrípeta radial -R\sin^2\theta\,\omega^2\hat e_r associada à rotação azimutal.

Resposta

\displaystyle \text{Cilíndricas: }\quad \vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\varphi\,\hat e_\varphi + \dot z\,\hat e_z,\qquad \vec a = \bigl(\ddot r - r\dot\varphi^2\bigr)\hat e_r + \bigl(r\ddot\varphi + 2\dot r\dot\varphi\bigr)\hat e_\varphi + \ddot z\,\hat e_z.í
\displaystyle \text{Esféricas: }\quad \vec v = \dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\hat e_\varphi,é
\displaystyle \vec a = \bigl(\ddot r - r\dot\theta^2 - r\sin^2\theta\,\dot\varphi^2\bigr)\hat e_r + \bigl(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta - r\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2\bigr)\hat e_\theta + \bigl(r\sin\theta\,\ddot\varphi + 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi + 2r\cos\theta\,\dot\theta\,\dot\varphi\bigr)\hat e_\varphi.

Exercícios relacionados