Descreva as superficies coordenadas e curvas coordenadas para (a) coordenadas cilíndricas e (b) coordenadas esféricas.
obs:
novas coordenadas
constante define uma superficie coordenada onde somente
&
variam.
obs:
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva as superfícies coordenadas e as curvas coordenadas para:
(a) coordenadas cilíndricas e
(b) coordenadas esféricas.
Informação dada (observação do enunciado): fixar
constante define uma superfície coordenada onde apenas
e
variam. Não há outras informações externas; vou usar as convenções usuais explicitando-as.
(a) coordenadas cilíndricas e
(b) coordenadas esféricas.
Informação dada (observação do enunciado):
Passo 2
Definição e convenção para coordenadas cilíndricas (vou explicitar significado das variáveis e relação com cartesiano).
Escolho a notação cilíndrica padrão com:
Escolho a notação cilíndrica padrão
Relação com coordenadas cartesianas
:
O que cada variável significa geometricamente:
-
é a distância do ponto ao eixo (projeção radial no plano ); -
é o ângulo azimutal no plano medido a partir do eixo ; -
é a altura (igual ao cartesiano).
Explicação rápida: para qualquer ponto projete-o no plano; a distância dessa projeção à origem é e o ângulo desta projeção com o eixo é .
Passo 3
Superfície coordenada
(cilíndricas): derive e interprete.
Pegando constante e usando a relação cartesiana,
Pegando
Portanto
é a superfície
ou seja: um cilindro circular reto de raio
, eixo ao longo do eixo
. Observação didática: é independente de
, por isso estende-se verticalmente para todos os
.
Passo 4
Superfície coordenada
: derive e interprete (atenção à distinção plano vs meia-plano).
Fixando e deixando
livres, as coordenadas cartesianas são
Fixando
Os vetores
satisfazem que são múltiplos de
. Uma equação em
para essa superfície é
que é a equação de um plano vertical passando pelo eixo
. Observação sobre meia-plano: se se exige
então
descreve, para cada
, uma meia‑reta radial no plano horizontal; tomando todos os
dá um meia‑plano vertical que contém o eixo
. Se permitíssemos
negativo (convenção alternativa), obteríamos o plano inteiro. Em resumo:
é o plano vertical (na prática: o meia-plano radial) que contém o eixo
e faz ângulo
com o eixo
.
Passo 5
Superfície coordenada
: derive e interprete.
Fixando e deixando
livres obtemos todos os pontos com altura
. Em cartesiano:
Fixando
É um plano horizontal (paralelo ao plano
), chamado plano de nível
.
Passo 6
Definição curta de curva coordenada e aplicação ao sistema cilíndrico.
Curva coordenada é obtida fixando duas coordenadas e deixando a terceira variar. Vou descrever as três curvas coordenadas (cada uma corresponde a manter duas constantes):
Curva coordenada é obtida fixando duas coordenadas e deixando a terceira variar. Vou descrever as três curvas coordenadas (cada uma corresponde a manter duas constantes):
- Variando
com e fixos:
Interpretação: é uma meia‑reta radial no plano
saindo do eixo
na direção
.
Exemplo numérico: para e
obtém-se a reta
para
no plano
.
Exemplo numérico: para
Passo 7
Continuando curvas coordenadas cilíndricas:
2) Variando com
e
fixos:
2) Variando
Interpretação: é um círculo de raio
no plano
centrado na projeção da origem (ou seja, centrado em
) — é a circunferência horizontal.
3) Variando com
e
fixos:
3) Variando
Interpretação: é uma reta vertical paralela ao eixo
situada à distância
do eixo
.
Passo 8
Resumo rápido (cilíndrico) antes de passar para esférico — para fixar a intuição:
- Superfícies:
constante → cilindro coaxial; constante → (meia‑)plano vertical contendo o eixo ; constante → plano horizontal. - Curvas:
-variando → raio; -variando → círculo horizontal; -variando → linha vertical.
Passo 9
Definição e convenção para coordenadas esféricas.
Escolho a notação esférica usual com:
Escolho a notação esférica usual
Relação com coordenadas cartesianas
:
Significado geométrico:
-
é a distância do ponto à origem (raio); -
é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo positivo — ou seja, aponta para o polo norte ; -
é o mesmo ângulo azimutal do caso cilíndrico (no plano ).
Passo 10
Superfície coordenada
: derivação e interpretação.
Fixando obtemos
Fixando
Portanto
constante é a superfície de uma esfera de raio
centrada na origem. Essa é a descrição geométrica direta: todas as direções
com a mesma distância ao centro.
Passo 11
Superfície coordenada
: derivação e interpretação (cones).
Fixando e usando
e
(onde
), obtemos a relação para todos os
:
Fixando
Eliminando
e rearranjando dá uma equação em
que define um cone reto com vértice na origem:
ou, equivalente,
Interpretação:
é um cone cuja semi‑abertura (ângulo entre eixo
e geratriz) é
. Observações especiais:
dá o plano
(caso limite),
e
dão os eixos (casos degenerados).
Passo 12
Superfície coordenada
em esféricas: derivação e interpretação.
Fixando e variando
obtemos pontos com coordenadas
Fixando
Como no caso cilíndrico, a condição em
é
ou seja,
é o (meia‑)plano vertical que contém o eixo
e faz ângulo
com o eixo
. Novamente, se exigimos
isso corresponde a um meia‑plano; se permitíssemos
negativo, seria o plano inteiro.
Passo 13
Curvas coordenadas em esféricas (fixando duas coordenadas e variando a terceira).
- Variando
com e fixos:
Interpretação: é uma reta que parte da origem na direção dada por
— isto é, um raio (linha radial) saindo do centro.
Passo 14
Continuando curvas coordenadas esféricas:
2) Variando com
e
fixos:
2) Variando
Interpretação: é um arco de círculo (meridiano) contido no plano
; sobre a esfera de raio
é uma semirreta circular que vai do polo norte ao polo sul — é uma seção circular da esfera por um plano que passa pelo eixo
.
Passo 15
Terceira curva coordenada esférica:
3) Variando com
e
fixos:
3) Variando
Interpretação: é um círculo horizontal (paralelo) de raio
situado à altura
. Em termos geográficos, é um paralelo.
Passo 16
Observações finais didáticas e dicas para prova (curtinho e prático).
- Para identificar rapidamente a superfície de
constante, escreva as relações com e elimine as demais variáveis (por exemplo para esféricas use ). - Lembre-se das intuições: em cilíndricas
controla distância ao eixo, controla direção no plano, altura; em esféricas é distância ao centro, abre cone (colatitude) e ainda o plano azimutal. - Se em prova pedirem “curva quando duas coordenadas são constantes”, fixe as duas e escreva as coordenadas cartesianas paramétricas (como fiz acima) — isso prova que você sabe a geometria da curva.
Resposta
(a) Superfícies coordenadas (cilíndricas):
(cilindro coaxial com
);
(meia‑plano vertical contendo o eixo
);
(plano horizontal). Curvas coordenadas (cilíndricas): variar
com
meia‑reta radial
; variar
com
círculo horizontal
; variar
com
reta vertical
.
(b) Superfícies coordenadas (esféricas):
(esfera de raio
);
(cone com vértice na origem e semi‑ângulo
, caso especial
dá
);
(meia‑plano vertical contendo o eixo
). Curvas coordenadas (esféricas): variar
com
raio radial
; variar
com
meridiano (arco circular) em
; variar
com
paralelo (círculo horizontal) de raio
à altura
.