Descreva as superficies coordenadas e curvas coordenadas para (a) coordenadas cilíndricas e (b) coordenadas esféricas.
obs: \quad\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) \rightarrow novas coordenadas q_{1}= constante define uma superficie coordenada onde somente q_{2} & q_{3} variam.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva as superfícies coordenadas e as curvas coordenadas para:
(a) coordenadas cilíndricas e
(b) coordenadas esféricas.
Informação dada (observação do enunciado): \left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)\to fixar q_{1}= constante define uma superfície coordenada onde apenas q_{2} e q_{3} variam. Não há outras informações externas; vou usar as convenções usuais explicitando-as.

Passo 2

Definição e convenção para coordenadas cilíndricas (vou explicitar significado das variáveis e relação com cartesiano).
Escolho a notação cilíndrica padrão \left(\rho,\varphi,z\right) com:
\rho\ge 0,\qquad \varphi\in[0,2\pi),\qquad z\in(-\infty,\infty).
Relação com coordenadas cartesianas (x,y,z):
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
O que cada variável significa geometricamente:
  • \rho é a distância do ponto ao eixo z (projeção radial no plano xy);
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x;
  • z é a altura (igual ao z cartesiano).
    Explicação rápida: para qualquer ponto projete-o no plano xy; a distância dessa projeção à origem é \rho e o ângulo desta projeção com o eixo x é \varphi.

Passo 3

Superfície coordenada \rho=\rho_0 (cilíndricas): derive e interprete.
Pegando \rho=\rho_0 constante e usando a relação cartesiana,
\rho_0^2 = x^2+y^2.
Portanto \rho=\rho_0 é a superfície
x^2+y^2=\rho_0^2,
ou seja: um cilindro circular reto de raio \rho_0, eixo ao longo do eixo z. Observação didática: é independente de z, por isso estende-se verticalmente para todos os z.

Passo 4

Superfície coordenada \varphi=\phi_0: derive e interprete (atenção à distinção plano vs meia-plano).
Fixando \varphi=\phi_0 e deixando \rho,z livres, as coordenadas cartesianas são
x=\rho\cos\phi_0,\qquad y=\rho\sin\phi_0,\qquad z=z.
Os vetores (x,y) satisfazem que são múltiplos de (\cos\phi_0,\sin\phi_0). Uma equação em x,y para essa superfície é
-\sin\phi_0\,x+\cos\phi_0\,y=0,
que é a equação de um plano vertical passando pelo eixo z. Observação sobre meia-plano: se se exige \rho\ge0 então \varphi=\phi_0 descreve, para cada z, uma meia‑reta radial no plano horizontal; tomando todos os z dá um meia‑plano vertical que contém o eixo z. Se permitíssemos \rho negativo (convenção alternativa), obteríamos o plano inteiro. Em resumo: \varphi=\phi_0 é o plano vertical (na prática: o meia-plano radial) que contém o eixo z e faz ângulo \phi_0 com o eixo x.

Passo 5

Superfície coordenada z=z_0: derive e interprete.
Fixando z=z_0 e deixando \rho,\varphi livres obtemos todos os pontos com altura z_0. Em cartesiano:
z=z_0.
É um plano horizontal (paralelo ao plano xy), chamado plano de nível z_0.

Passo 6

Definição curta de curva coordenada e aplicação ao sistema cilíndrico.
Curva coordenada é obtida fixando duas coordenadas e deixando a terceira variar. Vou descrever as três curvas coordenadas (cada uma corresponde a manter duas constantes):
  1. Variando \rho com \varphi=\phi_0 e z=z_0 fixos:
(x,y,z)=(\rho\cos\phi_0,\;\rho\sin\phi_0,\;z_0),\qquad \rho\ge0.
Interpretação: é uma meia‑reta radial no plano z=z_0 saindo do eixo z na direção \phi_0.
Exemplo numérico: para \phi_0=\pi/4 e z_0=0 obtém-se a reta y=x para x\ge0 no plano z=0.

Passo 7

Continuando curvas coordenadas cilíndricas:
2) Variando \varphi com \rho=\rho_0 e z=z_0 fixos:
(x,y,z)=(\rho_0\cos\varphi,\;\rho_0\sin\varphi,\;z_0),\qquad \varphi\in[0,2\pi).
Interpretação: é um círculo de raio \rho_0 no plano z=z_0 centrado na projeção da origem (ou seja, centrado em (0,0,z_0)) — é a circunferência horizontal.
3) Variando z com \rho=\rho_0 e \varphi=\phi_0 fixos:
(x,y,z)=(\rho_0\cos\phi_0,\;\rho_0\sin\phi_0,\;z),\qquad z\in\mathbb{R}.
Interpretação: é uma reta vertical paralela ao eixo z situada à distância \rho_0 do eixo z.

Passo 8

Resumo rápido (cilíndrico) antes de passar para esférico — para fixar a intuição:
  • Superfícies: \rho= constante → cilindro coaxial; \varphi= constante → (meia‑)plano vertical contendo o eixo z; z= constante → plano horizontal.
  • Curvas: \rho-variando → raio; \varphi-variando → círculo horizontal; z-variando → linha vertical.

Passo 9

Definição e convenção para coordenadas esféricas.
Escolho a notação esférica usual (r,\theta,\varphi) com:
r\ge0,\qquad \theta\in[0,\pi],\qquad \varphi\in[0,2\pi).
Relação com coordenadas cartesianas (x,y,z):
x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta.
Significado geométrico:
  • r é a distância do ponto à origem (raio);
  • \theta é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo positivo z — ou seja, \theta=0 aponta para o polo norte +z;
  • \varphi é o mesmo ângulo azimutal do caso cilíndrico (no plano xy).

Passo 10

Superfície coordenada r=r_0: derivação e interpretação.
Fixando r=r_0 obtemos
x^2+y^2+z^2 = r_0^2.
Portanto r= constante é a superfície de uma esfera de raio r_0 centrada na origem. Essa é a descrição geométrica direta: todas as direções (\theta,\varphi) com a mesma distância ao centro.

Passo 11

Superfície coordenada \theta=\theta_0: derivação e interpretação (cones).
Fixando \theta=\theta_0 e usando z=r\cos\theta e \rho_{\text{(cyl)}}=r\sin\theta (onde \rho_{\text{(cyl)}}=\sqrt{x^2+y^2}), obtemos a relação para todos os r\ge0:
\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\cos\theta_0.
Eliminando r e rearranjando dá uma equação em x,y,z que define um cone reto com vértice na origem:
x^2+y^2 = (\tan\theta_0)^2 z^2,
ou, equivalente,
z = \cot\theta_0\,\sqrt{x^2+y^2}.
Interpretação: \theta=\theta_0 é um cone cuja semi‑abertura (ângulo entre eixo z e geratriz) é \theta_0. Observações especiais: \theta_0=\pi/2 dá o plano z=0 (caso limite), \theta_0=0 e \theta_0=\pi dão os eixos (casos degenerados).

Passo 12

Superfície coordenada \varphi=\phi_0 em esféricas: derivação e interpretação.
Fixando \varphi=\phi_0 e variando r,\theta obtemos pontos com coordenadas
x=r\sin\theta\cos\phi_0,\quad y=r\sin\theta\sin\phi_0,\quad z=r\cos\theta.
Como no caso cilíndrico, a condição em x,y é
-\sin\phi_0\,x+\cos\phi_0\,y=0,
ou seja, \varphi=\phi_0 é o (meia‑)plano vertical que contém o eixo z e faz ângulo \phi_0 com o eixo x. Novamente, se exigimos r\ge0 isso corresponde a um meia‑plano; se permitíssemos r negativo, seria o plano inteiro.

Passo 13

Curvas coordenadas em esféricas (fixando duas coordenadas e variando a terceira).
  1. Variando r com \theta=\theta_0 e \varphi=\phi_0 fixos:
(x,y,z)=(r\sin\theta_0\cos\phi_0,\;r\sin\theta_0\sin\phi_0,\;r\cos\theta_0),\qquad r\ge0.
Interpretação: é uma reta que parte da origem na direção dada por (\theta_0,\phi_0) — isto é, um raio (linha radial) saindo do centro.

Passo 14

Continuando curvas coordenadas esféricas:
2) Variando \theta com r=r_0 e \varphi=\phi_0 fixos:
(x,y,z)=\big(r_0\sin\theta\cos\phi_0,\;r_0\sin\theta\sin\phi_0,\;r_0\cos\theta\big),\qquad \theta\in[0,\pi].
Interpretação: é um arco de círculo (meridiano) contido no plano \varphi=\phi_0; sobre a esfera de raio r_0 é uma semirreta circular que vai do polo norte ao polo sul — é uma seção circular da esfera por um plano que passa pelo eixo z.

Passo 15

Terceira curva coordenada esférica:
3) Variando \varphi com r=r_0 e \theta=\theta_0 fixos:
(x,y,z)=\big(r_0\sin\theta_0\cos\varphi,\;r_0\sin\theta_0\sin\varphi,\;r_0\cos\theta_0\big),\qquad \varphi\in[0,2\pi).
Interpretação: é um círculo horizontal (paralelo) de raio r_0\sin\theta_0 situado à altura z=r_0\cos\theta_0. Em termos geográficos, é um paralelo.

Passo 16

Observações finais didáticas e dicas para prova (curtinho e prático).
  • Para identificar rapidamente a superfície de q_i= constante, escreva as relações com x,y,z e elimine as demais variáveis (por exemplo para esféricas use x^2+y^2+z^2=r^2).
  • Lembre-se das intuições: em cilíndricas \rho controla distância ao eixo, \varphi controla direção no plano, z altura; em esféricas r é distância ao centro, \theta abre cone (colatitude) e \varphi ainda o plano azimutal.
  • Se em prova pedirem “curva quando duas coordenadas são constantes”, fixe as duas e escreva as coordenadas cartesianas paramétricas (como fiz acima) — isso prova que você sabe a geometria da curva.

Resposta

(a) Superfícies coordenadas (cilíndricas): \rho=\rho_0 \Rightarrow x^2+y^2=\rho_0^2 (cilindro coaxial com z); \varphi=\phi_0 \Rightarrow -\sin\phi_0\,x+\cos\phi_0\,y=0 (meia‑plano vertical contendo o eixo z); z=z_0 \Rightarrow z=z_0 (plano horizontal). Curvas coordenadas (cilíndricas): variar \rho com \varphi=\phi_0,z=z_0 \Rightarrow meia‑reta radial (\rho\cos\phi_0,\rho\sin\phi_0,z_0); variar \varphi com \rho=\rho_0,z=z_0 \Rightarrow círculo horizontal (\rho_0\cos\varphi,\rho_0\sin\varphi,z_0); variar z com \rho=\rho_0,\varphi=\phi_0 \Rightarrow reta vertical (\rho_0\cos\phi_0,\rho_0\sin\phi_0,z).
(b) Superfícies coordenadas (esféricas): r=r_0 \Rightarrow x^2+y^2+z^2=r_0^2 (esfera de raio r_0); \theta=\theta_0 \Rightarrow x^2+y^2=(\tan\theta_0)^2 z^2 (cone com vértice na origem e semi‑ângulo \theta_0, caso especial \theta_0=\pi/2 z=0); \varphi=\phi_0 \Rightarrow -\sin\phi_0\,x+\cos\phi_0\,y=0 (meia‑plano vertical contendo o eixo z). Curvas coordenadas (esféricas): variar r com \theta=\theta_0,\varphi=\phi_0 \Rightarrow raio radial (r\sin\theta_0\cos\phi_0,r\sin\theta_0\sin\phi_0,r\cos\theta_0); variar \theta com r=r_0,\varphi=\phi_0 \Rightarrow meridiano (arco circular) em \varphi=\phi_0; variar \varphi com r=r_0,\theta=\theta_0 \Rightarrow paralelo (círculo horizontal) de raio r_0\sin\theta_0 à altura z=r_0\cos\theta_0.

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