Expresse o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede: expressar o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Informações dadas (implícitas): em coordenadas cartesianas o elemento de volume é dV = dx\,dy\,dz. Não foi dada outra restrição de notação, por isso usamos as convenções padrão abaixo ao longo da resolução.

Passo 2

Definição das coordenadas cilíndricas e seus símbolos (explicação do que cada variável significa):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui \,r\ge 0 é a distância do ponto até o eixo z (projeção radial no plano xy), \theta é o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x (tipicamente 0\le \theta<2\pi), e z é a coordenada vertical. Nosso objetivo é achar dV em termos de dr, d\theta e dz.

Passo 3

Intuição geométrica para o elemento de área no plano xy:
Considere um pequeno retângulo em coordenadas (r,\theta) com lados \,dr e \,d\theta. Na imagem cartesiana esses lados correspondem a: um deslocamento radial de comprimento \,dr e um deslocamento ao longo do arco de círculo de raio r e ângulo d\theta, cujo comprimento é \,r\,d\theta. Portanto a área desse pequeno elemento no plano xy é
\text{área}_{xy} = r\,dr\,d\theta.á
Multiplicando por uma espessura vertical \,dz (já que z não muda na transformação), obtemos o volume elemental.

Passo 4

Conclusão para coordenadas cilíndricas (resultado e explicação compacta):
A partir do passo anterior, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Observação prática: a ordem dos diferenciais pode ser trocada conforme a conveniência da integral (por exemplo \,dV = r\,dr\,dz\,d\theta, etc.), desde que se respeite o domínio de integração.

Passo 5

Alternativa (verificação via Jacobiano) — ideia do que é o Jacobiano:
Quando fazemos uma mudança de variáveis (x,y,z)\mapsto (u,v,w), o fator que transforma dx\,dy\,dz em du\,dv\,dw é o valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}. Para as cilíndricas com (u,v,w)=(r,\theta,z) a matriz é formada pelas derivadas parciais de x,y,z em relação a r,\theta,z; o determinante dá r, confirmando dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 6

Definição das coordenadas esféricas e seus símbolos (escolha de convenção):
Usamos a convenção comum (\rho,\varphi,\theta) onde
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
Aqui \rho\ge 0 é a distância radial do ponto até a origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo z positivo, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy. Nosso objetivo é achar dV em termos de d\rho, d\varphi e d\theta.

Passo 7

Intuição geométrica para o elemento de volume em esféricas (passo central, muito usado em provas):
Considere um pequeno paralelepípedo esférico ao redor de (\rho,\varphi,\theta) com incrementos d\rho, d\varphi, d\theta. As três dimensões desse pequeno elemento são aproximadamente:
  • radial: comprimento \,d\rho,
  • polar (variação em \varphi): comprimento \,\rho\,d\varphi (porque um pequeno deslocamento angular \,d\varphi ao longo de um círculo de raio \rho tem comprimento \rho\,d\varphi),
  • azimutal (variação em \theta): comprimento \,\rho\sin\varphi\,d\theta (o raio do círculo de variação em \theta é a projeção radial no plano xy, que vale \rho\sin\varphi).
    Multiplicando essas três dimensões obtemos o volume do pequeno paralelepípedo:
dV \approx d\rho\cdot (\rho\,d\varphi)\cdot (\rho\sin\varphi\,d\theta) = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 8

Verificação via Jacobiano (breve comentário):
Se escrevermos a matriz Jacobiana \dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)} e calcularmos seu determinante obtemos exatamente \rho^{2}\sin\varphi. Isso confirma rigorosamente a expressão obtida geometricamente. A forma geométrica é geralmente mais rápida e intuitiva em provas.

Passo 9

Conclusão para coordenadas esféricas (resultado e observações):
Portanto o elemento de volume em coordenadas esféricas (com a convenção acima) é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Também aqui a ordem dos diferenciais pode ser trocada conforme o domínio de integração exigir, mas lembre-se de adaptar os limites de integração à ordem escolhida.

Passo 10

Exemplos rápidos para fixar a ideia (útil para prova):
Exemplo A — volume de um cilindro de raio a e altura h usando cilíndricas:
V=\int_{z=0}^{h}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a} r\,dr\,d\theta\,dz = \int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{a} d\theta\,dz = \int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}a^{2}\,d\theta\,dz = h\cdot 2\pi\cdot \tfrac{1}{2}a^{2}=\pi a^{2}h.
Exemplo B — volume de uma esfera de raio R usando esféricas:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{R} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \left[\int_{0}^{2\pi}d\theta\right]\left[\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right]\left[\int_{0}^{R}\rho^{2}\,d\rho\right] = 2\pi\cdot 2\cdot \tfrac{1}{3}R^{3}=\tfrac{4}{3}\pi R^{3},
o resultado clássico que confirma a fórmula.

Resposta

dV = r\,dr\,d\theta\,dz (coordenadas cilíndricas)
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta (coordenadas esféricas, com \rho distância radial, \varphi colatitude, \theta azimute)

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