Expresse o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O enunciado pede: expressar o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas.
Informações dadas (implícitas): em coordenadas cartesianas o elemento de volume é . Não foi dada outra restrição de notação, por isso usamos as convenções padrão abaixo ao longo da resolução.
Informações dadas (implícitas): em coordenadas cartesianas o elemento de volume é
Passo 2
Definição das coordenadas cilíndricas e seus símbolos (explicação do que cada variável significa):
Aqui
é a distância do ponto até o eixo
(projeção radial no plano
),
é o ângulo azimutal no plano
medido a partir do eixo
(tipicamente
), e
é a coordenada vertical. Nosso objetivo é achar
em termos de
,
e
.
Passo 3
Intuição geométrica para o elemento de área no plano
:
Considere um pequeno retângulo em coordenadas com lados
e
. Na imagem cartesiana esses lados correspondem a: um deslocamento radial de comprimento
e um deslocamento ao longo do arco de círculo de raio
e ângulo
, cujo comprimento é
. Portanto a área desse pequeno elemento no plano
é
Considere um pequeno retângulo em coordenadas
Multiplicando por uma espessura vertical
(já que
não muda na transformação), obtemos o volume elemental.
Passo 4
Conclusão para coordenadas cilíndricas (resultado e explicação compacta):
A partir do passo anterior, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
A partir do passo anterior, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Observação prática: a ordem dos diferenciais pode ser trocada conforme a conveniência da integral (por exemplo
, etc.), desde que se respeite o domínio de integração.
Passo 5
Alternativa (verificação via Jacobiano) — ideia do que é o Jacobiano:
Quando fazemos uma mudança de variáveis , o fator que transforma
em
é o valor absoluto do determinante da matriz Jacobiana
. Para as cilíndricas com
a matriz é formada pelas derivadas parciais de
em relação a
; o determinante dá
, confirmando
.
Quando fazemos uma mudança de variáveis
Passo 6
Definição das coordenadas esféricas e seus símbolos (escolha de convenção):
Usamos a convenção comum onde
Usamos a convenção comum
Aqui
é a distância radial do ponto até a origem,
é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo
positivo, e
é o ângulo azimutal no plano
. Nosso objetivo é achar
em termos de
,
e
.
Passo 7
Intuição geométrica para o elemento de volume em esféricas (passo central, muito usado em provas):
Considere um pequeno paralelepípedo esférico ao redor de com incrementos
,
,
. As três dimensões desse pequeno elemento são aproximadamente:
Considere um pequeno paralelepípedo esférico ao redor de
- radial: comprimento
, - polar (variação em
): comprimento (porque um pequeno deslocamento angular ao longo de um círculo de raio tem comprimento ), - azimutal (variação em
): comprimento (o raio do círculo de variação em é a projeção radial no plano , que vale ).
Multiplicando essas três dimensões obtemos o volume do pequeno paralelepípedo:
Passo 8
Verificação via Jacobiano (breve comentário):
Se escrevermos a matriz Jacobiana e calcularmos seu determinante obtemos exatamente
. Isso confirma rigorosamente a expressão obtida geometricamente. A forma geométrica é geralmente mais rápida e intuitiva em provas.
Se escrevermos a matriz Jacobiana
Passo 9
Conclusão para coordenadas esféricas (resultado e observações):
Portanto o elemento de volume em coordenadas esféricas (com a convenção acima) é
Portanto o elemento de volume em coordenadas esféricas (com a convenção acima) é
Também aqui a ordem dos diferenciais pode ser trocada conforme o domínio de integração exigir, mas lembre-se de adaptar os limites de integração à ordem escolhida.
Passo 10
Exemplos rápidos para fixar a ideia (útil para prova):
Exemplo A — volume de um cilindro de raio
e altura
usando cilíndricas:
Exemplo B — volume de uma esfera de raio
usando esféricas:
o resultado clássico que confirma a fórmula.