Descreva e esboce as superfícies e curvas de coordenadas para coordenadas elípticas cilíndricas:
x_{1}=a \operatorname{cosh} \left(q_{1}\right) \cos \left(q_{2}\right) ; x_{2}=a \operatorname{senh}\left(q_{1}\right) \operatorname{sen}\left(q_{2}\right), x_{3}=q_{3}
q_{1} \geqslant 0,0 \leqslant q_{2} \leqslant 2 \pi ;-\infty<q_{3}<0

Passo 1

O enunciado dá a transformação das coordenadas elípticas cilíndricas:
x_{1}=a\operatorname{cosh}(q_{1})\cos(q_{2}),\qquad x_{2}=a\operatorname{sinh}(q_{1})\sin(q_{2}),\qquad x_{3}=q_{3},
com os domínios
q_{1}\ge 0,\qquad 0\le q_{2}\le 2\pi,\qquad -\infty<q_{3}<0.
O que é pedido: descrever (em palavras e equações) e esboçar as superfícies coordenadas (as superfícies obtidas mantendo cada q_i constante) e as curvas coordenadas (as curvas obtidas mantendo dois q fixos e variando o terceiro). Vou listar explicitamente as superfícies \{q_1=\text{const}\}, \{q_2=\text{const}\}, \{q_3=\text{const}\} e as curvas resultantes de fixar dois q e variar o outro; também tratarei casos especiais de valores dos parâmetros.

Passo 2

Superfícies q_{1}=\mu com \mu\ge 0 (fixo).
Pegamos \mu fixo e variamos q_{2} e q_{3}. Primeiro, elimino q_{2} entre x_{1} e x_{2} para ver a curva no plano x_{3}= constante. Dividindo por a e quadrando:
\left(\frac{x_{1}}{a\operatorname{cosh}\mu}\right)^{2}=\cos^{2}q_{2},\qquad \left(\frac{x_{2}}{a\operatorname{sinh}\mu}\right)^{2}=\sin^{2}q_{2}.
Somando as duas igualdades e usando \cos^{2}q_{2}+\sin^{2}q_{2}=1, obtemos a equação da seção no plano:
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}\mu}+\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}\mu}=1.
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior a\operatorname{cosh}\mu (direção x_{1}) e semi-eixo menor a\operatorname{sinh}\mu (direção x_{2}). Como a superfície permite variação de q_{3}, ao extrusar essa elipse no eixo x_{3} (já que x_{3}=q_{3} é livre) obtemos um cilindro elíptico (uma família de elipses empilhadas), i.e. uma superfície cilíndrica elíptica infinita no sentido x_{3}. Observações úteis:
  • Quando \mu=0 temos \operatorname{sinh} 0=0, \operatorname{cosh} 0=1 e a equação degenerada corresponde à linha x_{2}=0,\;x_{1}\in[-a,a] (a elipse colapsa num segmento no eixo x_{1}).
  • Os focos dessas elipses estão em (\pm a,0). Explico por quê: para a elipse com semi-eixos A=a\operatorname{cosh}\mu e B=a\operatorname{sinh}\mu tem-se c^{2}=A^{2}-B^{2}=a^{2}(\operatorname{cosh}^{2}\mu-\operatorname{sinh}^{2}\mu)=a^{2}, logo c=a.

Passo 3

Superfícies q_{2}=\nu com \nu\in[0,2\pi] (fixo).
Fixando \nu e variando q_{1} e q_{3}, eliminamos q_{1}. Escrevo
\operatorname{cosh} q_{1}=\frac{x_{1}}{a\cos\nu},\qquad \operatorname{sinh} q_{1}=\frac{x_{2}}{a\sin\nu},
quando \cos\nu\neq 0 e \sin\nu\neq 0. Usando a identidade \operatorname{cosh}^{2}q_{1}-\operatorname{sinh}^{2}q_{1}=1 obtemos a equação
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}\cos^{2}\nu}-\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}\sin^{2}\nu}=1.
Isto é uma hipérbole no plano x_{3}= constante. Variação de q_{3} extrusa essa hipérbole ao longo do eixo x_{3}, gerando um cilindro hiperbólico (uma superfície obtida por translado da hipérbole ao longo de x_{3}). Características:
  • Assíntotas da hipérbole: para grandes |x_{1}|,|x_{2}| a relação reduz-se a x_{2}\approx \pm x_{1}\tan\nu. Logo as assíntotas são as retas x_{2}=\pm x_{1}\tan\nu.
  • Casos especiais: se \nu=0 ou \nu=\pi temos \sin\nu=0, então x_{2}=0 e x_{1}=a\operatorname{cosh} q_{1}\ge a. Assim a curva no plano é o ramo da reta positiva x_{2}=0,\;x_{1}\ge a. Se \nu=\pi/2 ou 3\pi/2 temos \cos\nu=0 e x_{1}=0,\;x_{2}=a\operatorname{sinh} q_{1}\ge 0 (um ramo no eixo x_{2}).

Passo 4

Superfícies q_{3}=z_{0} com z_{0}<0 (fixo).
Como x_{3}=q_{3}, fixar q_{3} dá simplesmente o plano horizontal
x_{3}=z_{0}.
Observação: como o domínio dado é -\infty<q_{3}<0, essas superfícies planos são planos horizontais abaixo do plano x_{3}=0 (ou seja, todo o sistema está descrito para pontos com coordenada x_{3} negativa).

Passo 5

Curvas coordenadas (manter dois q fixos e variar o terceiro). Vou enumerar os três tipos:
  1. Variação de q_{2} com q_{1}=\mu e q_{3}=z_{0} fixos: já vimos que isso descreve uma elipse no plano x_{3}=z_{0} com equação
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}\mu}+\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}\mu}=1.
Essa é a curva elíptica (fechada). No esboço: elipses centradas na origem, maior eixo ao longo de x_{1}.
  1. Variação de q_{1} com q_{2}=\nu e q_{3}=z_{0} fixos: isso dá um ramo de hipérbole no plano x_{3}=z_{0} com equação
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}\cos^{2}\nu}-\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}\sin^{2}\nu}=1.
Como q_{1}\ge 0, obtemos apenas o ramo da hipérbole correspondente a \operatorname{cosh} q_{1}\ge 1 e \operatorname{sinh} q_{1}\ge 0; o sinal de x_{2} acompanha o sinal de \sin\nu. No esboço: hipérboles com assíntotas através da origem.
  1. Variação de q_{3} com q_{1}=\mu e q_{2}=\nu fixos: então x_{1} e x_{2} ficam fixos (dependendo de \mu,\nu) e x_{3} varia livremente. Logo a curva é uma reta vertical paralela ao eixo x_{3}:
(x_{1},x_{2})=\bigl(a\operatorname{cosh}\mu\cos\nu,\;a\operatorname{sinh}\mu\sin\nu\bigr),\qquad x_{3}\in(-\infty,0).
No esboço: segmentos/retilíneas verticais (com x_{3}<0) em cada ponto da rede elipse–hipérbole.

Passo 6

Relações importantes e intuições geométricas (didático e útil para prova):
  • Identidade fundamental usada: \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Vou explicar: \operatorname{cosh} t=(e^{t}+e^{-t})/2 e \operatorname{sinh} t=(e^{t}-e^{-t})/2. Calculando \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t cancela os termos exponenciais e sobra 1. Essa identidade é o análogo hiperbólico de \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
  • Confocalidade: as elipses q_{1}=\mu têm focos fixos em (\pm a,0). Mostrei isso usando c^{2}=A^{2}-B^{2}=a^{2} (onde A,B são semi-eixos). As hipérboles q_{2}=\nu também têm os mesmos focos; por isso dizemos que a família de elipses e a família de hipérboles são confocais.
  • Ortogonalidade das famílias: elipses q_{1}= const e hipérboles q_{2}= const cortam-se ortogonalmente. Intuição rápida: elipse tem equação do tipo F(x_{1},x_{2};\mu)=0 e hipérbole G(x_{1},x_{2};\nu)=0; as direções de suas normais são \nabla F e \nabla G e, usando as relações entre coeficientes (originadas de \cos^{2}q_{2}+\sin^{2}q_{2}=1 e \operatorname{cosh}^{2}q_{1}-\operatorname{sinh}^{2}q_{1}=1), verifica-se que \nabla F\cdot\nabla G=0 nos pontos de interseção. Portanto a malha de coordenadas é ortogonal — isto é convenientíssimo em separação de variáveis e em cálculo de métricas.
  • Casos limites e interpretação geométrica: \mu\to 0 dá elipse degenerada em segmento |x_{1}|\le a,\;x_{2}=0. \nu igual a 0,\pi/2,\pi,\dots dá hipérboles degeneradas em ramos ao longo dos eixos coordenados.

Passo 7

Instruções de desenho (como esboçar no papel, passo a passo):
  1. Trace os eixos x_{1} (horizontal) e x_{2} (vertical) e marque os pontos (\pm a,0) — estes são os focos comuns.
  2. Para várias \mu>0 desenhe elipses centradas na origem com semi-eixos A=a\operatorname{cosh}\mu (horizontal) e B=a\operatorname{sinh}\mu (vertical). Note que quanto maior \mu, mais alongada a elipse no x_{1}. Inclua a degenerada \mu=0 como o segmento [-a,a] no eixo x_{1}.
  3. Para vários \nu desenhe hipérboles com assíntotas x_{2}=\pm x_{1}\tan\nu; elas cruzam as elipses ortogonalmente. Para \nu=0 a hipérbole reduz-se ao ramo x_{1}\ge a, x_{2}=0.
  4. Finalmente, para visualização 3D, levante essas curvas verticalmente (paralelo ao eixo x_{3}) apenas para x_{3}<0 (internamente, pense em cilindros correspondentes às elipses e às hipérboles). As linhas de coordenadas em 3D são as curvas elípticas e hiperbólicas em cada plano x_{3}= constante, unidas por segmentos verticais.

Resposta

As superfícies q_{1}=\mu são cilindros elípticos dados por
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}\mu}+\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}\mu}=1,
elipses no plano x_{3}= const, extrudadas ao longo de x_{3} (com focos em (\pm a,0)); para \mu=0 a elipse degenera no segmento x_{2}=0,\;x_{1}\in[-a,a].
As superfícies q_{2}=\nu são cilindros hiperbólicos dados por
\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}\cos^{2}\nu}-\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}\sin^{2}\nu}=1,
hipérboles no plano x_{3}= const (com assíntotas x_{2}=\pm x_{1}\tan\nu), extrudadas em x_{3}; para \nu múltiplo de \pi/2 ocorrem ramos degenerados ao longo dos eixos.
As superfícies q_{3}=z_{0} são planos horizontais
x_{3}=z_{0},
com z_{0}<0.
As curvas coordenadas são: (i) para q_{1}= const, q_{3}= const e q_{2} variável — elipses fechadas como acima; (ii) para q_{2}= const, q_{3}= const e q_{1} variável — ramos de hipérbole como acima; (iii) para q_{1},q_{2} fixos e q_{3} variável — retas verticais paralelas ao eixo x_{3} (com x_{3}<0).

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