Descreva e esboce as superfícies e curvas de coordenadas para coordenadas elípticas cilíndricas:
Passo 1
O enunciado dá a transformação das coordenadas elípticas cilíndricas:
com os domínios
O que é pedido: descrever (em palavras e equações) e esboçar as superfícies coordenadas (as superfícies obtidas mantendo cada
constante) e as curvas coordenadas (as curvas obtidas mantendo dois
fixos e variando o terceiro). Vou listar explicitamente as superfícies
,
,
e as curvas resultantes de fixar dois
e variar o outro; também tratarei casos especiais de valores dos parâmetros.
Passo 2
Superfícies
com
(fixo).
Pegamos fixo e variamos
e
. Primeiro, elimino
entre
e
para ver a curva no plano
constante. Dividindo por
e quadrando:
Pegamos
Somando as duas igualdades e usando
, obtemos a equação da seção no plano:
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior
(direção
) e semi-eixo menor
(direção
). Como a superfície permite variação de
, ao extrusar essa elipse no eixo
(já que
é livre) obtemos um cilindro elíptico (uma família de elipses empilhadas), i.e. uma superfície cilíndrica elíptica infinita no sentido
. Observações úteis:
- Quando
temos , e a equação degenerada corresponde à linha (a elipse colapsa num segmento no eixo ). - Os focos dessas elipses estão em
. Explico por quê: para a elipse com semi-eixos e tem-se , logo .
Passo 3
Superfícies
com
(fixo).
Fixando e variando
e
, eliminamos
. Escrevo
Fixando
quando
e
. Usando a identidade
obtemos a equação
Isto é uma hipérbole no plano
constante. Variação de
extrusa essa hipérbole ao longo do eixo
, gerando um cilindro hiperbólico (uma superfície obtida por translado da hipérbole ao longo de
). Características:
- Assíntotas da hipérbole: para grandes
a relação reduz-se a . Logo as assíntotas são as retas . - Casos especiais: se
ou temos , então e . Assim a curva no plano é o ramo da reta positiva . Se ou temos e (um ramo no eixo ).
Passo 4
Superfícies
com
(fixo).
Como , fixar
dá simplesmente o plano horizontal
Como
Observação: como o domínio dado é
, essas superfícies planos são planos horizontais abaixo do plano
(ou seja, todo o sistema está descrito para pontos com coordenada
negativa).
Passo 5
Curvas coordenadas (manter dois
fixos e variar o terceiro). Vou enumerar os três tipos:
- Variação de
com e fixos: já vimos que isso descreve uma elipse no plano com equação
Essa é a curva elíptica (fechada). No esboço: elipses centradas na origem, maior eixo ao longo de
.
- Variação de
com e fixos: isso dá um ramo de hipérbole no plano com equação
Como
, obtemos apenas o ramo da hipérbole correspondente a
e
; o sinal de
acompanha o sinal de
. No esboço: hipérboles com assíntotas através da origem.
- Variação de
com e fixos: então e ficam fixos (dependendo de ) e varia livremente. Logo a curva é uma reta vertical paralela ao eixo :
No esboço: segmentos/retilíneas verticais (com
) em cada ponto da rede elipse–hipérbole.
Passo 6
Relações importantes e intuições geométricas (didático e útil para prova):
- Identidade fundamental usada:
. Vou explicar: e . Calculando cancela os termos exponenciais e sobra . Essa identidade é o análogo hiperbólico de . - Confocalidade: as elipses
têm focos fixos em . Mostrei isso usando (onde são semi-eixos). As hipérboles também têm os mesmos focos; por isso dizemos que a família de elipses e a família de hipérboles são confocais. - Ortogonalidade das famílias: elipses
const e hipérboles const cortam-se ortogonalmente. Intuição rápida: elipse tem equação do tipo e hipérbole ; as direções de suas normais são e e, usando as relações entre coeficientes (originadas de e ), verifica-se que nos pontos de interseção. Portanto a malha de coordenadas é ortogonal — isto é convenientíssimo em separação de variáveis e em cálculo de métricas. - Casos limites e interpretação geométrica:
dá elipse degenerada em segmento . igual a dá hipérboles degeneradas em ramos ao longo dos eixos coordenados.
Passo 7
Instruções de desenho (como esboçar no papel, passo a passo):
- Trace os eixos
(horizontal) e (vertical) e marque os pontos — estes são os focos comuns. - Para várias
desenhe elipses centradas na origem com semi-eixos (horizontal) e (vertical). Note que quanto maior , mais alongada a elipse no . Inclua a degenerada como o segmento no eixo . - Para vários
desenhe hipérboles com assíntotas ; elas cruzam as elipses ortogonalmente. Para a hipérbole reduz-se ao ramo . - Finalmente, para visualização 3D, levante essas curvas verticalmente (paralelo ao eixo
) apenas para (internamente, pense em cilindros correspondentes às elipses e às hipérboles). As linhas de coordenadas em 3D são as curvas elípticas e hiperbólicas em cada plano constante, unidas por segmentos verticais.
Resposta
As superfícies
são cilindros elípticos dados por
elipses no plano
const, extrudadas ao longo de
(com focos em
); para
a elipse degenera no segmento
.
As superfícies são cilindros hiperbólicos dados por
As superfícies
hipérboles no plano
const (com assíntotas
), extrudadas em
; para
múltiplo de
ocorrem ramos degenerados ao longo dos eixos.
As superfícies são planos horizontais
As superfícies
com
.
As curvas coordenadas são: (i) para const,
const e
variável — elipses fechadas como acima; (ii) para
const,
const e
variável — ramos de hipérbole como acima; (iii) para
fixos e
variável — retas verticais paralelas ao eixo
(com
).
As curvas coordenadas são: (i) para