Calcule \iint_{B} f(x, y) d x d y, sendo dados:
(e) f(x, y)=x+y e B o paralelogramo de vértices (0,0),(1,1),(3,1)

Passo 1

O enunciado pede
Calcular \displaystyle \iint_{B}(x+y)\,dx\,dy,
onde B é o paralelogramo de vértices (0,0), (1,1), (3,1) e, implicitamente, (2,0).
Conteúdo: integração dupla em região poligonal via mudança de variável linear (parametrização) e cálculo do jacobiano.

Passo 2

Escolhemos como vetores geradores, a partir de (0,0): \displaystyle \mathbf{v}_1=(1,1) e \displaystyle \mathbf{v}_2=(2,0).
Parametrizamos B por
x = s+2t,\quad y = s,
com (s,t)\in[0,1]\times[0,1].
O jacobiano é
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial x}{\partial t}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial t} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&0\end{pmatrix}=-2,
logo \lvert J\rvert=2.]

Passo 3

Em coordenadas (s,t),
f(x,y)=x+y=(s+2t)+s=2s+2t.
Portanto
\iint_{B}(x+y)\,dx\,dy =\iint_{[0,1]^2}(2s+2t)\,\bigl|J\bigr|\,ds\,dt =2\iint_{0}^{1}\!\!\!\int_{0}^{1}(2s+2t)\,ds\,dt =4\iint_{0}^{1}\!\!\!\int_{0}^{1}(s+t)\,ds\,dt.

Passo 4

Calculamos
\iint_{0}^{1}\!\!\!\int_{0}^{1}(s+t)\,ds\,dt =\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{0}^{1}s\,ds+\int_{0}^{1}t\,ds\Bigr]dt =\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac12 + t\Bigr)dt =\tfrac12 + \tfrac12 =1.
Logo
\iint_{B}(x+y)\,dx\,dy =4\cdot1 =4.

Resposta

4

Exercícios relacionados