Calcule a integral de:
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx.
Este é um problema de antiderivação de funções potenciais, onde usaremos a regra
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em potências de x:
\sqrt{x} = x^{1/2}, \quad \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2},
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\int\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx = \int\bigl(x^{1/2} + x^{-1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência em cada termo:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{\tfrac{1}{2}} = 2x^{1/2}.

Passo 4

Somando as antiderivadas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C

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